Kezdőlap


Feladat:	20. matematika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Füzet:	1894/január, 10 - 11. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Másodfokú (és arra visszavezethető) egyenletek, Paraméteres egyenletek, Másodfokú (és arra visszavezethető) egyenlőtlenségek, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1893/december: 20. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

\begin{matrix} F (x) = 0 \end{matrix}

egyenlet gyökei akkor lesznek a

0

és

2 R

határok közé szorítva, ha egyidejűleg

\begin{matrix} F (0) \cdot F (2 R) > 0 \end{matrix}

(1)

\begin{matrix} 0 < \frac{l^{2} + 4 a R}{4 R} < 2 R . \end{matrix}

(2)

Vagyis ha

F (0)

és

F (2 R)

egyenlő előjelűek és a gyökök félösszege

0

és

2 R

között fekszik.
Minthogy az

F (x) = 0

egyenlet gyökeinek közös alakja:

\begin{matrix} x = \frac{l^{2} + 4 a R \pm \sqrt[]{(l^{2} + 4 a R) - 16 a^{2} R^{2}}}{4 R}, \end{matrix}

\begin{matrix} x + \frac{l^{2} + 4 a R \pm \sqrt[]{(l^{4} + 8 l^{2} a R)}}{4 R}, \end{matrix}

\begin{matrix} x + \frac{l^{2} + 4 a R \pm l \sqrt[]{(l^{2} + 8 a R)}}{4 R}, \end{matrix}

s ezek akkor lesznek valósak, ha

\begin{matrix} l^{2} + 8 a R \geq 0, \end{matrix}

\begin{matrix} l^{2} \geq - 8 R . \end{matrix}

Tegyük fel először, hogy

\begin{matrix} a > 0; \end{matrix}

ekkor

l^{2}

mindig nagyobb a

- 8 a R

-nél.
Minthogy

\begin{matrix} F (0) = 2 R a^{2} > 0, \end{matrix}

\begin{matrix} F (2 R) = 2 R [4 R^{2} - l^{2} - 4 a R + a^{2}] = 2 R [{(2 R - a)}^{2} - l^{2}] -nek \end{matrix}

is nagyobbnak kell lennie

0

-nál, vagyis minthogy

2 R

pozitív

\begin{matrix} {(2 R - a)}^{2} - l^{2} > 0, \end{matrix}

\begin{matrix} l^{2} < {(2 R - a)}^{2} . \end{matrix}

(1)

(2)

alatti feltétel új alakja lesz

\begin{matrix} 0 < l^{2} + 4 a R < 8 R^{2}, \end{matrix}

\begin{matrix} - 4 a R < l^{2} < 8 R^{2} - 4 a R, \end{matrix}

\begin{matrix} - 4 a R < l^{2} < 4 R (2 R - a) . \end{matrix}

(2)

Ez utóbbi egyenlőtlenségek közül az első minden pozitív

a

-nál fennáll, a második azonban csak akkor, ha

2 R - a > 0

, vagyis ha

a < 2 R

.
Ez utóbbi esetben azonban

\begin{matrix} {(2 R - a)}^{2} < 4 R (2 R - a) \end{matrix}

és a s z ü k s é g e s és e l e g e n d ő feltételei annak, hogy az

F (x) = 0

egyenlet gyökei a

0

és

2 R

között feküdjenek, midőn

a > 0,

a következők:

\begin{matrix} a < 2 R, \end{matrix}

(3)

\begin{matrix} l^{2} < {(2 R - a)}^{2} . \end{matrix}

(4)

a > 2 R

és

l^{2} < {(2 R - a)}^{2}

akkor az

F (x) = 0

egyenlet egy gyöke sem fekszik a

0

és

2 R

között. Ha

l^{2} > {(2 R - a)}^{2}

és

a \neq 2 R,

akkor a gyökök

0

és

2 R

értékek által e g y m á s t ó l e l v a n n a k k ü l ö n í t v e.

II.

Tegyük fel, hogy

\begin{matrix} a < 0. \end{matrix}

F (x) = 0

gyökei tehát csak akkor valósak, ha

\begin{matrix} l^{2} > - 8 a R . \end{matrix}

A gyökök itt is akkor lesznek a

0

és

2 R

között találhatók, ha

\begin{matrix} l^{2} < {(2 R - a)}^{2}, \end{matrix}

(1)

\begin{matrix} - 4 a R < l^{2} < 4 R (2 R - a) . \end{matrix}

(2)

\begin{matrix} a > - 2 R, \end{matrix}

azaz

\begin{matrix} - a < 2 R, \end{matrix}

akkor

\begin{matrix} 2 R - a < 4 R \end{matrix}

és

\begin{matrix} {(2 R - a)}^{2} < 4 R (2 R - a) . \end{matrix}

A s z ü k s é g e s és e l e g e n d ő feltételei annak, hogy az

F (x) = 0

egyenlet gyökei a

0

és

2 R

határok között feküdjenek, negatív

a

esetére a következők:

\begin{matrix} - a < 2 R, \end{matrix}

(3)

\begin{matrix} l^{2} < {(2 R - a)}^{2} . \end{matrix}

(4)

\begin{matrix} - a > 2 R \end{matrix}

akkor

\begin{matrix} - 4 R a > 8 R^{2}, \end{matrix}

\begin{matrix} - 8 R a > 8 R^{2} - 4 R a, \end{matrix}

és

\begin{matrix} - 8 R a > 4 R (2 R - a) . \end{matrix}

Ugyanekkor

\begin{matrix} 2 R - a > 4 R \end{matrix}

és

\begin{matrix} {(2 R - a)}^{2} > 4 R (2 R - a) . \end{matrix}

Ha tehát

\begin{matrix} {(2 R - a)}^{2} > l^{2} > - 8 a R > 4 R (2 R - a) \end{matrix}

akkor az

F (x) = 0

egyenlet egy gyöke sem fekszik

0

és

2 R

között.
Ha végre

\begin{matrix} l^{2} > {(2 R - a)}^{2} \end{matrix}

és

\begin{matrix} - a \neq 2 R, \end{matrix}

akkor a

0

és

2 R

a gyököket elkülönítik egymástól.

III.

Összefoglalás.

\begin{matrix} a > 0, \end{matrix}

\begin{matrix} a < 2 R \end{matrix}

\begin{matrix} \underset{̲}{l^{2} < {(2 R - a)}^{2}} \end{matrix}

akkor

\begin{matrix} 0 < x' < x'' < 2 R; \end{matrix}

hol

x'

és

x "

F (x) = 0

egyenlet gyökeit jelentik.
2)

\begin{matrix} a > 2 R \end{matrix}

\begin{matrix} \underset{̲}{l^{2} < {(2 R - a)}^{2}} \end{matrix}

akkor

\begin{matrix} 0 < 2 R < x' < x'' . \end{matrix}

\begin{matrix} a \neq 2 R \end{matrix}

\begin{matrix} \underset{̲}{l^{2} > {(2 R - a)}^{2}} \end{matrix}

akkor

\begin{matrix} 0 < x' < 2 R < x'' . \end{matrix}

II.

a < 0

és

l^{2} > - 8 a R .

\begin{matrix} a > - 2 R \end{matrix}

\begin{matrix} \underset{̲}{l^{2} < {(2 R - a)}^{2}} \end{matrix}

akkor

\begin{matrix} 0 < x' < x'' < 2 R \end{matrix}

\begin{matrix} a < - 2 R \end{matrix}

\begin{matrix} \underset{̲}{l^{2} < {(2 R - a)}^{2}} \end{matrix}

akkor

\begin{matrix} 0 < 2 R < x' < x'' . \end{matrix}

\begin{matrix} a \neq - 2 R \end{matrix}

\begin{matrix} \underset{̲}{l^{2} > {(2 R - a)}^{2}} \end{matrix}

akkor

\begin{matrix} 0 < x' < 2 R < x'' . \end{matrix}

III.

a < 0

és

l^{2} < - 8 a R

, akkor

x'

és

x''

conjugált complex értékek.