Kezdőlap


Feladat:	19. matematika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Füzet:	1894/január, 10. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Másodfokú (és arra visszavezethető) egyenletek, Gyökök és együtthatók közötti összefüggések, Másodfokú diofantikus egyenletek, Paraméteres egyenletek, Elsőfokú (és arra visszavezethető) egyenlőtlenségek, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1893/december: 19. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Megoldás. Az $x^{2} + p x + q = o$ egyenletben

\begin{matrix} x_{1} = \frac{- p + \sqrt[]{p^{2} - 4 q}}{2}, \end{matrix}

\begin{matrix} x_{2} = \frac{- p - \sqrt[]{p^{2} - 4 q}}{2}, \end{matrix}

Tegyük fel, hogy

x_{1} = 4 x_{2}

-vel akkor

\begin{matrix} \frac{- p + \sqrt[]{p^{2} - 4 q}}{2} = 4 \frac{- p - \sqrt[]{p^{2} - 4 q}}{2}, \end{matrix}

\begin{matrix} - p + \sqrt[]{p^{2} - 4 q} = - 4 p - 4 \sqrt[]{p^{2} - 4 q}, \end{matrix}

\begin{matrix} 5 \sqrt[]{p^{2} - 4 q} = - 3 p . \end{matrix}

Négyzetre emelve az egyenlet bal és jobb oldalát, lesz

\begin{matrix} 25 p^{2} - 100 q = 9 p^{2}, \end{matrix}

\begin{matrix} 16 p^{2} = 100 q, \end{matrix}

\begin{matrix} 4 p^{2} = 25 q, \end{matrix}

\begin{matrix} p^{2} = \frac{25}{4} q . \end{matrix}

p^{2}

és vele

p

csak úgy lehet egész szám, ha

q

4

-nek többszöröse, vagyis ha

\begin{matrix} q = 4 u . \end{matrix}

Ekkor

\begin{matrix} p^{2} = 25 u, \end{matrix}

és

\begin{matrix} p = \pm 5 \sqrt[]{u} . \end{matrix}

Hogy

p

és

q

legfeljebb két számjelű szám legyen, arra szükséges, hogy

\begin{matrix} 4 u < 100, \end{matrix}

\begin{matrix} \pm 5 \sqrt[]{u} < 100, \end{matrix}

\begin{matrix} 25 u < 10000; \end{matrix}

vagyis, hogy

\begin{matrix} u < 25 < 400. \end{matrix}

Az első szükséges és elegendő egyenlőtlenségből nyerjük a keresett értékrendszerek gyanánt:

\begin{matrix} \pm 5,4 \end{matrix}

\begin{matrix} \pm 10,16 \end{matrix}

\begin{matrix} \pm 25,36 \end{matrix}

\begin{matrix} \pm 20,64. \end{matrix}

(A debreczeni áll. főreáliskola VIII. osztályú tanulói.)