Kezdőlap


Feladat:	18. matematika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Jorga Gergely, VIII. oszt. tanuló, Arad , Zalányi János, főgymn tanár, Kolozsvár
Füzet:	1894/február, 20. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Hossz, kerület, Terület, felszín, Kör geometriája, Számtani közép, Síkgeometriai számítások trigonometria nélkül, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1893/december: 18. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A körgyűrűt övező körök kerületeinek számtani középértéke:

\begin{matrix} \frac{K + k}{2} = (R + r) π, \end{matrix}

hol

K

a külső és

k

a belső kör kerülete.
Ha a kérdéses kör kerülete egyenlő

(R + r) π

-vel úgy ennek sugara

\begin{matrix} R_{1} = \frac{R + r}{2} \end{matrix}

és területe

\begin{matrix} T = \frac{{(R + r)}^{2}}{4} π; \end{matrix}

a körgyűrű területe pedig

\begin{matrix} t = (R^{2} - r^{2}) π \end{matrix}

és a megadott viszony

\begin{matrix} t : T = c \end{matrix}

legyen, úgy

\begin{matrix} c = \frac{4 (R^{2} - r^{2})}{{(R + r)}^{2}} = \frac{4 (R - r)}{R + r} \end{matrix}

és ebből

\begin{matrix} R + r = \frac{4 (R - r)}{c} & (1) \\ és R - r = a & (2) \end{matrix}

és így az (1)

\begin{matrix} R + r = \frac{4 a}{c} . & (3) \end{matrix}

Tehát a körgyűrűt alkotó körök sugarai:

\begin{matrix} r = \frac{a}{2 c} (4 - c) = \frac{a}{2} (\frac{4}{c} - 1), \end{matrix}

\begin{matrix} R = \frac{a}{2 c} (4 + c) = \frac{a}{2} (\frac{4}{c} + 1) . \end{matrix}

(Zalányi János, főgymn. tanár, Kolozsvár).
A feladatot még megfejtette: Jorga Gergely, főreálisk. VIII. oszt. tanuló, Arad.