Feladat:	15. matematika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: könnyű
Megoldó(k):	Heymann Tivadar ,  Rosenberg József
Füzet:	1894/szeptember, 3. oldal		PDF  |  MathML
Témakör(ök):	Műveletek polinomokkal, Paraméteres egyenletek, A komplex szám algebrai alakja, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1893/december: 15. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. $\begin{array}{c}{\displaystyle {\displaystyle \begin{array}{cc}\hfill {\displaystyle }& {\displaystyle x^4+1:x^2+px+q=x^2-px+p^2-q}\hfill \\ \hfill {\displaystyle }& {\displaystyle \underline{x^4+p{x}^3+q{x}^2}}\hfill \\ \hfill {\displaystyle }& {\displaystyle -p{x}^3-q{x}^2+1}\hfill \\ \hfill {\displaystyle }& {\displaystyle \underline{-p{x}^3-p^2{x}^2-pqx}}\hfill \\ \hfill {\displaystyle }& {\displaystyle \left(p^2-q\right)x^2+pqx+1}\hfill \\ \hfill {\displaystyle }& {\displaystyle \underline{\left(p^2-q\right)x^2+p\left(p^2-q\right)x+q\left(p^2-q\right)}}\hfill \\ \hfill {\displaystyle }& {\displaystyle p\left(2q-p^2\right)x-q\left(p^2-q\right)+1}\hfill \end{array}}}\end{array}$ Hogy a maradék az $x$ bármely értékénél zérus legyen, kell, hogy: $\begin{array}{c}{\displaystyle p\left(2q-p^2\right)=\mathrm{0,}}\end{array}$ 1) $\begin{array}{c}{\displaystyle q\left(p^2-q\right)=1.}\end{array}$ 2) Az $\left(1\right)$-ből $p\text{'}=0$ és $p\text{'}\text{'}=\sqrt[]{2q}\mathrm{.}$ Ezen értékeket a $\left(2\right)$-be helyettesítve, lesz: $\begin{array}{c}{\displaystyle q^2=-\mathrm{1,}}\end{array}$ $\begin{array}{c}{\displaystyle q^2=+1.}\end{array}$ A $p$ és $q$ egybetartozó értékei tehát a következők: $\begin{array}{c}{\displaystyle p=\mathrm{0,}q=\sqrt[]{-1}\mathrm{,}}\end{array}$ $\begin{array}{c}{\displaystyle p=\sqrt[]{2}\mathrm{,}q=\mathrm{1,}}\end{array}$ $\begin{array}{c}{\displaystyle p=\sqrt[]{-2}\mathrm{,}q=-1;}\end{array}$ és így az $x^4+1$ kifejezés osztói: $\begin{array}{c}{\displaystyle x^2+\sqrt[]{-1}\mathrm{,}}\end{array}$ $\begin{array}{c}{\displaystyle x^2+\sqrt[]{2x}+\mathrm{1,}}\end{array}$ $\begin{array}{c}{\displaystyle x^2+\sqrt[]{-2x}-1.}\end{array}$ (Heymann Tivadar, főreálisk. VIII. oszt. tanuló, Győr) A feladatot még megoldotta: Rosenberg József, főreálisk. VIII. o. t. Győr.