Kössük össze a háromszög súlypontját $G$-t a háromszög körül írt kör középpontjával, $0$-val. Ha az $ABC$ kör egy tetszés szerinti pontját $M$-et összekötöm a $G$-vel és erre az egyenesre a $G$-től kezdve az $MG$ irányban felviszem a $GN=2MG$ távolságot, megkapom az $S$ eredő végpontja által leírt geometriai hely egy tetszés szerinti pontját $N$-et. Ha az $N$-ből párhuzamost húzok az $OM=i=r$-rel, ezen párhuzamos az $OG$-t oly $H$ pontban metszi, melynek távolsága a $G$-től, $GH=2OG$-vel. $HN$ pedig $=2MO=2r$-rel az $N$ bármely helyzeténél.
Az $S$ eredő végpontja tehát kört ír le, melynek középpontja $H$ az $OG$ egyenesen a $G$-től az $OG$ irányban $20G$ távolságra fekszik és sugara $R=2r$-rel. Ezen $H$ pont azonban a most említett tulajdonságánál fogva nem egyéb, mint az $ABC$ háromszög magasságainak metszéspontja. (Euler tétele).
Az $S$ maximális és minimális értékei azon $M$ pontoknál keletkeznek, amelyekben a $GO$ egyenes az $ABC$ kört átmetszi.
Jeleljük továbbá az $ABC$ háromszög oldalainak felezési pontjait rendre $D$, $E$ és $F$-fel.
Minthogy a $DEF$ háromszög súlypontja azonos az $ABC$ háromszög súlypontjával $G$-vel, az $S$ eredő végpontjának mértani helye ismét kör lesz, ha az $M$ pont a $DEF$ kört írja le. E kör középpontja $H\text{'}$ ismét a $DEF$ háromszög magasságainak metszéspontja lesz, de $H\text{'}$ jelen esetben nem egyéb az $ABC$ háromszög körül írt kör középpontjánál, tehát a keresett mértani hely az $ABC$ kör.