Kezdőlap


Feladat:	10. matematika feladat	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Holbay Pál
Füzet:	1894/február, 20. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Húrnégyszögek, Koszinusztétel alkalmazása, Terület, felszín, Hossz, kerület, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1893/december: 10. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Legyen $A B C D$ a kérdéses négyszög s $A B = a = 33$ m., $B C = b = 63$ m., $C D = c = 16$ m. és végre $D A = d = 56$ m. Ennélfogva a $B D$ átlónak négyzete

\begin{matrix} f^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos β = d^{2} + a^{2} - 2 d a cos β . \end{matrix}

Ebből

\begin{matrix} b^{2} + c^{2} - d^{2} - a^{2} = 2 (b c - d a) cos β \end{matrix}

\begin{matrix} cos β = \frac{b^{2} + c^{2} - d^{2} - a^{2}}{2 (b c - d a)} \end{matrix}

\begin{matrix} = \frac{3969 + 256 - 3136 - 1089}{2 (b c - d a)} = 0 \end{matrix}

\begin{matrix} β = 90^{o} \end{matrix}

Tehát

\begin{matrix} f^{2} = 4225. \end{matrix}

\begin{matrix} f = 65 m . \end{matrix}

A második átló

e

, minthogy húrnégyszöggel van dolgunk

\begin{matrix} e = \frac{a c + b d}{f} = \frac{4056}{65} = 62 \cdot 4 m . \end{matrix}

Tehát

\begin{matrix} cos α = \frac{a^{2} + b^{2} - c^{2}}{2 a b} = \frac{1164 \cdot 24}{4158} \end{matrix}

\begin{matrix} log cos α = 3 \cdot 06603 - 3 \cdot 61888 = 9 \cdot 44715 - 10 \end{matrix}

\begin{matrix} α = 73^{o} 44' 25'' \end{matrix}

\begin{matrix} γ = 106'' 15' 35'' \end{matrix}

A terület

\begin{matrix} S = \frac{a d + b c}{2} = \frac{1848 + 1008}{2} = 1428 m^{2} . \end{matrix}

(Holbay Pál, főgymn. VIII. oszt. tanuló, Nyitra).