Kezdőlap


Feladat:	9. matematika feladat	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Pollák Sándor
Füzet:	1894/március, 25. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Számtani sorozat, Mértani sorozat, Másodfokú (és arra visszavezethető) egyenletrendszerek, Algebrai átalakítások, Másodfokú (és arra visszavezethető) egyenletek, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1893/december: 9. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Nevezzük a számtani haladvány első tagját $a$ -nak, a külömbségét $d$ -nek; a geometriai haladvány első tagját $b$ -nek, a hányadosát $q$ -nak.
A feladat szrint tehát:

\begin{matrix} a + b = 27 \end{matrix}

\begin{matrix} a + d + b q = 39 \end{matrix}

\begin{matrix} a + 2 d + b q^{2} = 87 \end{matrix}

\begin{matrix} 3 a + 3 d = 26 \end{matrix}

Ha a

3

első egyenlet jobb oldalán levő számok összegéből a számtani haladvány tagjainak összegét kivonjuk, geometriai haladvány tagjainak összegét kapjuk. Tehát

\begin{matrix} b + b q + b q^{2} = 127 \end{matrix}

2)

és

4)

egyenletből kiküszöbölve az

a + d

-t, kapjuk

\begin{matrix} 3 b q = 91 \end{matrix}

Ha az

5)

egyenlet mindkét oldalát

3 q

-val szorozzuk és

3 b q

értékét

6)

-ból belehelyettesítjük, lesz az:

\begin{matrix} 91 q^{2} - 290 q + 91 = 0 \end{matrix}

Ezen egyenletből

q

-nak értékei:

\begin{matrix} \frac{290 \pm \sqrt[]{50976}}{182} \end{matrix}

vagy:

\begin{matrix} q = \frac{145 \pm 6 \sqrt[]{354}}{91} \end{matrix}

tehát:

\begin{matrix} b = \frac{91^{2}}{3 (145 \pm 6 \sqrt[]{354})} \end{matrix}

\begin{matrix} b = \frac{91^{2} (145 \mp 6 \sqrt[]{354})}{3 (145^{2} - 36.854)} \end{matrix}

\begin{matrix} b = \frac{8281 (145 \mp 6 \sqrt[]{354})}{3.8281} \end{matrix}

\begin{matrix} b = \frac{145 \mp 6 \sqrt[]{354}}{3} \end{matrix}

1)

és

9)

egyenletből nyerjük a

b

kiküszöbölése után:

\begin{matrix} a = 27 - \frac{145 \mp 6 \sqrt[]{354}}{3} \end{matrix}

\begin{matrix} a = \frac{- 64 \pm 6 \sqrt[]{354)}}{3} \end{matrix}

10)

Végre a

4)

és

10)

egyenletből

\begin{matrix} d = \frac{26}{3} - \frac{- 64 \pm 6 \sqrt[]{354}}{3} \end{matrix}

\begin{matrix} d = \frac{90 \mp 6 \sqrt[]{354}}{3} \end{matrix}

\begin{matrix} d = 30 \mp 2 \sqrt[]{354} \end{matrix}

11)

A két haladvány rendre:

\begin{matrix} \frac{- 64 \pm 6 \sqrt[]{354}}{3}, \frac{26}{3}, \frac{116 \mp 6 \sqrt[]{354}}{3}; \end{matrix}

\begin{matrix} \frac{145 \mp 6 \sqrt[]{354}}{3}, \frac{91}{3}, \frac{145 \pm 6 \sqrt[]{354}}{3} . \end{matrix}

(Pollák Sándor, főgymn. VII. oszt. tanuló, Győr).