Kezdőlap


Feladat:	7. matematika feladat	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Jorga Gergely
Füzet:	1894/február, 19. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Szabályos sokszög alapú gúlák, Terület, felszín, Térfogat, Húrsokszögek, Szabályos sokszögek geometriája, Aranymetszés, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1893/december: 7. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Mindenekelőtt számítsuk ki az alaplap területét.
Ezt úgy eszközölhetjük, hogy azt $5$ egybevágó egyenlőszárú háromszögre bontjuk s egy ily háromszög területét $5$ -ször vesszük.
Egy ily háromszög területe

\begin{matrix} S = \frac{a r'}{2}, \end{matrix}

hol

a

az ötszög oldalát,

r'

az ötszögbe írt kör sugarát jelenti.
De

\begin{matrix} r'^{2} = r^{2} - \frac{a^{2}}{4}, \end{matrix}

hol

r

az ötszög körül írt kör sugarát jelenti.

a

-nak értéke azonban

\begin{matrix} a = \frac{r}{2} \sqrt[]{10 - 2 \sqrt[]{5}} \end{matrix}

és

\begin{matrix} \frac{a^{2}}{4} = \frac{r^{2}}{16} (10 - 2 \sqrt[]{5}) \end{matrix}

tehát

\begin{matrix} r'^{2} = \frac{r^{2}}{16} 16 - \frac{r^{2}}{16} (10 - 2 \sqrt[]{5}), \end{matrix}

\begin{matrix} = \frac{r^{2}}{16} (6 + 2 \sqrt[]{5}), \end{matrix}

\begin{matrix} = \frac{r^{2}}{16} {(1 + \sqrt[]{5})}^{2}, \end{matrix}

s így

\begin{matrix} r' = \frac{r}{4} (1 + \sqrt[]{5}) . \end{matrix}

Ebből

\begin{matrix} S = \frac{r^{2}}{16} \sqrt[]{10 - 2 \sqrt[]{5}} (1 + \sqrt[]{5}) . \end{matrix}

Az oldallap területe:

\begin{matrix} S' = \frac{a^{2}}{4} \sqrt[]{3}, \end{matrix}

\begin{matrix} = \frac{r^{2}}{16} (10 - 2 \sqrt[]{5}) \sqrt[]{3} . \end{matrix}

A teljes felület tehát

\begin{matrix} 5 (S + S') = 5 {\frac{r^{2}}{16} \sqrt[]{10 - 2 \sqrt[]{5}} (1 + \sqrt[]{5}) + \frac{r^{2}}{16} (10 - 2 \sqrt[]{5}) \sqrt[]{3}} = \end{matrix}

\begin{matrix} = \frac{5}{16} r^{2} \sqrt[]{10 - 2 \sqrt[]{5}} {1 + \sqrt[]{5} + \sqrt[]{30 - 6 \sqrt[]{5}}} \end{matrix}

\begin{matrix} = \frac{45}{4} \sqrt[]{10 - 2 \sqrt[]{5}} {1 + \sqrt[]{5} + \sqrt[]{30 - 6 \sqrt[]{5}}} {dm}^{2} \end{matrix}

A köbtartalmat kapom, ha az alap területét a magasság harmadrészével megszorzom. De a magasság

h

oly derékszögű háromszög befogója, melynek átfogója

a

és másik befogója

r

; vagyis

h

nem egyéb, mint az

r

sugarú körbe írt tízszög oldala.
Tehát

\begin{matrix} h = \frac{r}{2} (\sqrt[]{5} - 1) . \end{matrix}

A keresett térfogat:

\begin{matrix} V = \frac{r}{6} (\sqrt[]{5} - 1) 5 \frac{r^{2}}{16} \sqrt[]{10 - 2 \sqrt[]{5}} (\sqrt[]{5} + 1) \end{matrix}

\begin{matrix} = \frac{5}{96} r^{3} 4 \sqrt[]{10 - 2 \sqrt[]{5}} \end{matrix}

\begin{matrix} = \frac{5}{24} r^{3} \sqrt[]{10 - 2 \sqrt[]{5}} \end{matrix}

\begin{matrix} = \frac{5}{24} 216 \sqrt[]{10 - 2 \sqrt[]{5}} {dm}^{3} \end{matrix}

\begin{matrix} V = 45 \sqrt[]{10 - 2 \sqrt[]{5}} {dm}^{3} \end{matrix}

(Jorga Gergely, főreálisk. VIII. oszt. tanuló, Arad).