Feladat:	2. matematika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Füzet:	1893/december, 2 - 3. oldal		PDF  |  MathML
Témakör(ök):	Síkgeometriai számítások trigonometria nélkül négyszögekben, Húrnégyszögek, Körülírt kör, Háromszögek hasonlósága, Síkgeometriai számítások trigonometria nélkül körökben, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1893/december: 2. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. Az ABCD négyszög körül írt kör sugara egyenlő az ABC, BCD, CDA, vagy DAB háromszögek körül írt körök sugarával. Hogy ezt kiszámíthassuk, csak az AC=x, vagy a BD=y hosszúságot kell ismernem ${\displaystyle \begin{array}{c}\hfill {\displaystyle x^2=a^2+b^2-b^2-2bA\text{'}B\mathrm{,}}\\ \hfill {\displaystyle x^2=c^2+d^2+2dC\text{'}D\mathrm{,}}& \text{(<mn>1</mn>)}\end{array}}$ a Carnot-tétel értelmében. Az ABA' és CDC' háromszögek hasonlóságából következik, hogy: ${\displaystyle \begin{array}{cc}\hfill {\displaystyle A\text{'}B:C\text{'}D=a:c\mathrm{.}}& \text{(<mn>2</mn>)}\end{array}}$ Az (1) és (2)-ből lesz a következő: $\begin{array}{c}{\displaystyle 2bA\text{'}B+2dC\text{'}D=\left(a^2+b^2\right)-\left(c^2+d^2\right)\mathrm{,}}\end{array}$ $\begin{array}{c}{\displaystyle cA\text{'}B-aC\text{'}D=0;}\end{array}$ és ebből: $\begin{array}{c}{\displaystyle 2\left(ab+cd\right)A\text{'}B=a\left(a^2+b^2-c^2-d^2\right)\mathrm{,}}\end{array}$ $\begin{array}{c}{\displaystyle A\text{'}B=a\frac{\left(a^2+b^2\right)-\left(c^2+d^2\right)\mathrm{,}}{2\left(ab+cd\right)}}\end{array}$ $\begin{array}{c}{\displaystyle x^2=a^2+b^2-ab\frac{\left(a^2+b^2\right)-\left(c^2+d^2\right)}{ab+cd}}\end{array}$ $\begin{array}{c}{\displaystyle x^2=\frac{\left(a^2+b^2\right)cd+ab\left(c^2+d^2\right)}{\left(ab+cd\right)}\mathrm{,}}\end{array}$ $\begin{array}{c}{\displaystyle x^2=\frac{\left(bc+da\right)\left(ca+bd\right)}{\left(ab+cd\right)}\mathrm{.}}\end{array}$ $\begin{array}{c}{\displaystyle r=\frac{abx}{4t}\mathrm{,}}\end{array}$ hol t az ABC háromszög területét jelenti. $\begin{array}{c}{\displaystyle r^2=\frac{a^2{b}^2{x}^2}{16t^2}}\end{array}$ $\begin{array}{c}{\displaystyle 16t^2=\{{\left(a+b\right)}^2-x^2\}\cdot \{x^2-{\left(a-b\right)}^2\};}\end{array}$ $\begin{array}{c}{\displaystyle {\left(a+b\right)}^2-x^2=\frac{{\left(a+b\right)}^2\left(ab+cd\right)-\left(ac+bd\right)\left(ad+bc\right)}{ab+cd}=\frac{ab\{{\left(a+b\right)}^2-{\left(c-d\right)}^2\}}{ab+cd};}\end{array}$ $\begin{array}{c}{\displaystyle x^2-{\left(a-b\right)}^2=\frac{\left(ac+bd\right)\left(ad+bc\right)-\left(ab+cd\right){\left(a-b\right)}^2}{ab+cd}=\frac{ab\{{\left(c+d\right)}^2-{\left(a-b\right)}^2\}}{ab+cd};}\end{array}$ $\begin{array}{c}{\displaystyle 16t^2=\frac{a^2-b^2}{{\left(ab+cd\right)}^2}\{{\left(a+b\right)}^2-{\left(c-d\right)}^2\}\{{\left(c+d\right)}^2-{\left(a-b\right)}^2\}\mathrm{.}}\end{array}$ $\begin{array}{c}{\displaystyle r^2=\frac{a^2{b}^2\left(ab+bd\right)\left(ad+bc\right){\left(ab+cd\right)}^2}{a^2{b}^2\left(ab+cd\right)\{{\left(a+b\right)}^2-{\left(c-d\right)}^2\}\{{\left(c+d\right)}^2-{\left(a-b\right)}^2\}}\mathrm{,}}\end{array}$ $\begin{array}{c}{\displaystyle r^2=\frac{\left(ab+bd\right)\left(ad+bc\right)\left(ab+cd\right)}{\left(a+b+c-d\right)\left(a+b-c+d\right)\left(a-b+c+d\right)\left(-a+b+c+d\right)}\mathrm{,}}\end{array}$