Kezdőlap


Feladat:	1. matematika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Füzet:	1893/december, 2. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Másodfokú (és arra visszavezethető) egyenletrendszerek, Paraméteres egyenletrendszerek, Algebrai átalakítások, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1893/december: 1. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Kiszámítva $b y$ -t az első egyenletből

\begin{matrix} b y = a p + b q - a x \end{matrix}

és behelyettesítve azt a

b^{2}

-tel szorzott másodikba, lesz:

\begin{matrix} b^{2} x^{2} + b x (a p + b q - a x) + {(a p + b q - a x)}^{2} = b^{2} (p^{2} + p q + q^{2}), \end{matrix}

\begin{matrix} (a^{2} - a b + b^{2}) x^{2} + (b - 2 a) (a p + b q) x + {(a p + b q)}^{2} - b^{2} (p^{2} + p q + q^{2}) = 0, \end{matrix}

\begin{matrix} x = \frac{(2 a - b) (a p + b q) \pm \sqrt[]{D}}{2 (a^{2} - a b + b^{2})} \end{matrix}

\begin{matrix} hol D = {(2 a - b)}^{2} {(a p + b q)}^{2} - 4 (a^{2} - a b + b^{2}) - 4 (a^{2} - a b + b^{2}) ({(a p + b q)}^{2} - b^{2} ((p^{2} + p q + q^{2})) = \end{matrix}

\begin{matrix} = - 3 b^{2} {(a p + b q)}^{2} + 4 b^{2} (a^{2} - a b + b^{2}) (p^{2} + p q + q^{2}) = \end{matrix}

\begin{matrix} = b^{2} {p^{2} (a^{2} - 4 a b + 4 b^{2}) + 2 p q^{(} 2 a^{2} - 5 a b + 2 b^{2}) + q^{2} (4 a^{2} - 4 a b + b^{2})} = \end{matrix}

\begin{matrix} = b^{2} {{(a - 2 b)}^{2} p^{2} + 2 p q (a - 2 b) (2 a - b) + {(2 a - b)}^{2} q^{2}}, \end{matrix}

\begin{matrix} x = \frac{(2 a - b) (a p + b q) \pm b ((a - 2 b) p + (2 a - b) q)}{2 (a^{2} - a b + b^{2})}, \end{matrix}

\begin{matrix} x = \frac{(a (2 a - b) \pm b (a - 2 b)) p + (b (2 a - b) \pm b (2 a - b)) q}{2 (a^{2} - a b + b^{2})}, \end{matrix}

\begin{matrix} x_{1} = \frac{(a^{2} - b^{2}) p + b (2 a - b) q}{(a^{2} - a b + b^{2})}, \end{matrix}

\begin{matrix} x_{1} = \frac{(a^{2} - a b + b^{2}) p + (a b - 2 b^{2}) p + b (2 a - b) q}{a^{2} - a b + b^{2}}, \end{matrix}

\begin{matrix} x_{1} = p + b \frac{(a - 2 b) p + (2 a - b) q}{a^{2} - a b + b^{2}}; \end{matrix}

\begin{matrix} x_{2} = \frac{2 (a^{2} - a b + b^{2}) p}{2 (a^{2} - a b + b^{2})} = p, \end{matrix}

\begin{matrix} b y_{1} = a p + b q - a p - a b \frac{(a - 2 b) p + (2 a - b) q}{a^{2} - a b + b^{2}} \end{matrix}

\begin{matrix} y_{1} = q - a \frac{(a - 2 b) p + (2 a - b) q}{a^{2} - a b + b^{2}}; \end{matrix}

\begin{matrix} b y_{2} = a p + b q - a p = b q, \end{matrix}

\begin{matrix} y_{2} = q \end{matrix}

Hogy p és q az egyenletrendszer gyökei, azt első szempillantásra felismerhettük volna.

x_{1}

és

y_{1}

tehát a következő alakúnak képzelhető:

\begin{matrix} x_{1} = p + u, \end{matrix}

\begin{matrix} y_{1} = q + v . \end{matrix}

Ezen értékeket az (1) alatti rendszerbe helyettesítve, lesz abból

\begin{matrix} a u + b v = 0, \end{matrix}

(2)

\begin{matrix} 2 p u + u^{2} + q u + p v + u v + 2 q v + v^{2} = 0. \end{matrix}

\begin{matrix} De ha a u = - b v, \end{matrix}

\begin{matrix} u = b t, \end{matrix}

\begin{matrix} v = - a t . \end{matrix}

Igy tehát a (2) második egyenlete a következő alakot nyeri:

\begin{matrix} (b^{2} t^{2} - a b t^{2} + a^{2} t^{2}) + (2 p + q) b t - (p + 2 q) a t = 0 \end{matrix}

\begin{matrix} (a^{2} - a b + b^{2}) t^{2} + ((2 p + q) b - (p + 2 q) a) t = 0 \end{matrix}

és ebből

\begin{matrix} t_{1} = 0 \end{matrix}

\begin{matrix} t_{2} = \frac{- (2 p + q) b + (p + 2 q) a}{a^{2} - a b + b^{2}} = \end{matrix}

\begin{matrix} = \frac{(a - 2 b) p + (2 a - b) q}{a^{2} - a b + b^{2}} \end{matrix}

Tehát

\begin{matrix} x_{1} = p + b t_{2}, \end{matrix}

\begin{matrix} y_{1} = q - a t_{2}, \end{matrix}

az előbbi alakok.