Feladat: 58. matematika ábrázoló geometria feladat Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Dömény I. ,  Földes R. ,  Haar A. ,  Heimlich Pál ,  Kaczander E. ,  Messer P. ,  Pichler S. ,  Reichert Pál ,  Ruvald Sándor ,  Schuster Gy. ,  Sonnenfeld J. ,  Stróbl J. ,  Tandlich E. 
Füzet: 1903/március, 195 - 197. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Ábrázoló geometria
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1902/november: 58. matematika ábrázoló geometria feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Első megoldás. Legyenek a megadott pontok A és B. Képzeljünk a kívánt síkra és az első képsíkra merőleges síkot állítva; ez a sík az említettekből egy 60∘-ú szöget vág ki (= a keresett sík első hajlásszögével). Ha ezt a síkot mindjárt az A, majd a B ponton átvezetjük, úgy eme szög oly derékszögű háromszöghöz tartozik, melynek egyik befogója az A, illet. B első rendezőjével egyenlő és a derékszög csúcsa A', illet. B'. (E derékszögű háromszögeket a rajzban A'KM és B'HN mutatják leforgatva.) Ha A'M radiussal A' körül, B'N-el B' körül köröket rajzolunk, úgy ezeknek közös érintői lesznek a kívánt síkok első nyomvonalai. De minthogy ezeknek még az AB egyenesnek S1 első nyompontján is át kell haladniok, azért a feladatnak csak két megoldása van. (A rajzban csak egy ily síkot tüntettünk föl.) Az AB egyenes S2 második nyompontja most már elegendő a sík második nyomvonalának meghatározására.

 
 

Erre a síkra merőlegesen állítunk egy harmadik képsíkot, az új tengely 1t3. Meghatározzuk A és B pontok harmadik képeit, melyek a sík s3 harmadik nyomvonalában feküsznek. A negyedik képsík az s1s2 síkkal párhuzamos, tehát 3t4 párhuzamos s3-al. Ezen az új képsíkon az A és B pontok távolsága, valamint a szerkesztendő kör is teljes nagyságában és alakjában fog látszani. A két pont negyedik képei könnyű szerrel nyerhetők. A kör negyedik képének előállítása végett megjegyzendő, hogy a kör az első képsíkot érinteni fogja. Ez érintési pont tehát a sík első nyomvonalában fekszik, azaz e pont harmadik képe C''' az 1t3 tengelyben van; azért eme pont negyedik képe C'''-ban 3t4-re merőlegesen álló egyenesen van. A kör negyedik képe tehát úgy rajzolandó, hogy érintse ezt a C'''CIV egyenest és átmenjen AIVBIV pontokon. A negyedik képből a kör harmadik-, első- és második képei kiegészíthetők.
A szerkesztendő kúp a harmadik képben mint tengelymetszet fog látszani, ezt megrajzoljuk és a kúp első- és második képének előállítására fölhasználjuk.
 

(Reichert Pál, Győr.)
 

Második megoldás. A kör síkja érinti azon kúpot, melynek csúcsa az AB egyenesnek pl. S2 pontja és alkotója az első képsíkhoz 60∘ alatt hajlik.‐ A síkot az AB egyenesen át így előállítván, beforgatjuk az első képsíkba; itt a kört megrajzoljuk a 2. Apollonius feladat segítségével figyelembe véve, hogy a kör a sík első nyomvonalát érinti. A sík visszaállítása után a kör első és második projekcziói megszerkeszthetők.
Minthogy a kör síkja az első képsíkkal és a szerkesztendő kúp alkotóival 60∘-ú szöget képez, azért e kúpnak legmagasabb alkotója párhuzamos az első képsíkkal. Eme alkotó második képe tehát párhuzamos 1t2 tengellyel; de a kör második képét érintvén, összeesik eme ellipsis legfelső D'' pontjának érintőjével. Ha még O'' ponton át s2-re merőlegesen a kúp tengelyének második projekczióját meghúzzuk, nyerjük a kúp csúcsának G'' második és innen vetítés által annak első projckczióját.
 

(Heimlich Pál és Ruvald Sándor, Budapest.)
 

A feladatot még megoldották: Dömény I., Földes R., Haar A., Kaczander E., Messer P., Pichler S., Schuster Gy., Sonnenfeld J. , Stróbl J., Tandlich E.