A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. Megoldás. Megmutatjuk, hogy a keresett szám 1991; általában piros pont esetén, ahol , kék pontra szükség lehet, többre nem. 3. ábra Először olyan , pontrendszert adunk meg, amelyikhez legalább kék pontra van szükség. Egy háromszögbe rajzoljunk például egy -ból induló, a oldal egy belső pontjáig menő körívet, és ennek a belsejében jelöljük ki sorra a további pontot (3. ábra.) Ekkor a , () és a háromszögek közül semelyik kettőnek sincs közös belső pontja, tehát mindegyik belsejében kell kék pontnak lennie. Így legalább kék pontra van szükség. Legyen most tetszés szerinti piros pontrendszer. Eljárást adunk a kék pontok elhelyezésére. Választunk egy egyenest, amelyik nem párhuzamos semelyik egyenessel, és egy elég kis távolságot, például kisebbet az összes piroscsúcsú háromszög magasságainál. Ez lehetséges, mert csak véges sok pontpár és véges sok háromszög van. Húzzunk most mindegyik ponton át egy -vel párhuzamos egyenest. Ekkor lesz olyan , amelyiknek az egyik oldalán nincs piros pont, és olyan , amelyiknek az -t nem tartalmazó oldalán nincsen. Ezeken az egyeneseken nincs piros pont -n, illetőleg -n kívül, mert nincs három egy egyenesen levő piros pont, választása szerint pedig ezeken az egyeneseken kettő sem lehet. Minden további egyenes metszi a szakaszt, ami a pontrendszer konvex burkának a belsejében halad. Helyezzünk egy-egy kék pontot minden olyan kezdőpontú félegyenesre -től távolságban, amelyiknek van közös pontja a konvex burok belsejével. Ezzel a feladat követelményeit teljesítettük. Egy piros csúcsú háromszög csúcsain át húzott egyenesek ugyanis különböznek az oldalegyenesektől. Így az egyik egyenes valamelyik félegyenesének van közös pontja a háromszög belsejével. Az ezen kijelölt kék pont választása folytán a háromszög belsejében van. Számoljuk össze a kék pontokat. Két-két kék pontot helyeztünk a konvex burok belsejében levő piros pontok közelébe, egyet-egyet a konvex burok határán levő piros pontokhoz, kivéve és -t, amikhez nem helyeztünk kék pontot. Jelöljük -vel a konvex burok csúcsainak számát. A burok oldalszakaszainak belsejében nem lehet piros pont, így a burok belsejében piros pont van. A kék pontok száma tehát Ezzel a bizonyítandó állítás második részét is beláttuk. Megjegyzések: 1. Párhuzamos egyenesek helyett választhatunk egy pontot a konvex burkon kívül úgy, hogy ne legyen rajta semelyik egyenesen se, és az egyeneseken helyezzük el a kék pontokat a fenti előírás szerint. 2. Könnyen látható, hogy az általános esetben is szükség van kék pontra. Ez következik, ha belátjuk, hogy bárhogyan is bontjuk a pontok konvex burkát olyan háromszögekre, amelyek közül semelyik kettőnek nincs közös belső pontja, a háromszögek száma mindig . Ez akkor is igaz, ha lehet kettőnél több pont is egy egyenesen, csak nem mind. Létezik a kívánt tulajdonságú felbontás. Egy ilyenhez juthatunk például úgy, hogy a pontrendszer konvex burkát háromszögekre bontjuk egy csúcsból induló átlókkal, majd veszünk egy-egy pontot, amelyik nem csúcsa megrajzolt háromszögnek, és összekötjük az őt tartalmazó háromszög vagy háromszögek csúcsaival. Véges számú pont esetén így véges számú lépésben kívánt tulajdonságú felbontáshoz jutunk. Egy kívánt tulajdonságú felbontás háromszögeinek számát -val jelölve ezekben a szögek összege . Ezeknek a szögeknek a csúcsai pontrendszerünk pontjai. A konvex burok belsejében levő pontok mindegyike körül összesen keletkezik (a felbontástól függetlenül). A konvex burok határán levő pontok körül keletkező szögek összege viszont egy -szög szögeinek összege, ami . Így | | amint állítottuk. Ha egy sokszög oldalszakaszain további pontok vannak, és ezeket is csúcsoknak tekintjük egyenként 180 belső szöggel, akkor a szögek összegére vonatkozó formula nyilvánvalóan érvényben marad. |
|