|
Feladat: |
1991. évi Kürschák matematikaverseny 1. feladata |
Korcsoport: 18- |
Nehézségi fok: nehéz |
Megoldó(k): |
Fleiner Balázs , Hegedűs Pál , Hertz István , Járai Antal , Kálmán Tamás , Katz Sándor , Kőszegi Botond , Poór Attila , Szegedi Krisztián , Veres Gábor |
Füzet: |
1992/február,
61 - 63. oldal |
PDF | MathML |
Témakör(ök): |
Valós számok és tulajdonságaik, Egyenlőtlenségek, Teljes indukció módszere, Nevezetes azonosságok, Egész együtthatós polinomok, Polinomok szorzattá alakítása, Elsőfokú (lineáris) függvények, Másodfokú függvények, Harmadfokú függvények, Negyed- és magasabb fokú függvények, Binomiális együtthatók, Kürschák József (korábban Eötvös Loránd) |
Hivatkozás(ok): | Feladatok: 1992/február: 1991. évi Kürschák matematikaverseny 1. feladata |
|
A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. I. megoldás. A nevező pozitív, mert a feladat feltételei mellett , és így Elegendő ennek folytán a nevezővel átszorozva keletkező | | (1) | egyenlőtlenséget bizonyítani. Ezt teljes indukcióval tesszük. Az esetben egyenlőség áll fenn. Jelöljük a bal oldalt -nel, a jobb oldalt -nel. Tegyük fel, hogy -nek valamilyen értékére , és nézzük meg, mennyivel változik az egyik oldal, mennyivel a másik, ha -et eggyel növeljük.
Az különbségről a könnyebb összehasonlítás érdekében -re térve, majd az első tag első és második tényezőjét egy hatvánnyá alakítva az utóbbi különbség így írható:
Itt az első tag nagyobb az különbségnél, ha , mert , a második pedig pozitív. Így | | Indukciós feltevésünk szerint a jobb oldal nem negatív, így a bal pozitív. Ezzel azt láttuk be, hogy ha (1) teljesül egy értékre, és , akkor minden nagyobb értékre már szigorú egyenlőtlenség érvényes (1)-ben. Mivel -re egyenlőség áll (az eredeti egyenlőtlenségben minden és -tól különböző értékre), így (1)-ben és az eredeti egyenlőtlenségben is jel érvényes minden 1-nél nagyobb egészre és 1-nél nagyobb -ra. Ha , akkor egyenlőtlenségeink egyenlőségbe mennek át. Ezzel a feladat állítását igazoltuk, és tisztáztuk azt is, hogy milyen esetekben áll fenn egyenlőség. II. megoldás. Feltehetjük, hogy és , mert esetén a két oldal egyenlő, bármi is , és hasonlóan egyenlőség áll fenn esetén minden -re. Az (1) egyenlőtlenséget bizonyítjuk. Rendezzük át a következő módon: | | (2) | Alkalmazzuk mindkét oldalra az esetén érvényes | | azonosságot. A jobb oldalon az alapok különbsége , így a bizonyítandó állítás a következő alakot ölti:
Itt a vizsgált esetben pozitív, a zárójel -edik tagjában pedig a bal oldalon 1-gyel van szorozva, a jobb oldalon viszont folytán 1-nél nagyobb számmal. Az utolsó egyenlőtlenség tehát a vizsgált esetekben szigorú egyenlőtlenséggel helyes. Csupa ekvivalens átalakítást végeztünk, tehát a bizonyítandó egyenlőtlenség is szigorú egyenlőtlenséggel érvényes, kivéve, ha , továbbá ha . Ezzel az előző megoldásban is nyert, valamivel élesített állítást nyertük. Megjegyzések: 1.Figyeljük meg, hogy mind a nevező pozitív voltának a belátásánál, mind az (1) egyenlőtlenség bizonyításánál csak annyit használtunk, hogy , , így elég lett volna csak ennyit tenni fel helyett. 2. A (2) egyenlőtlenséget beláthatjuk úgy is, hogy a jobb oldalt a binomiális tétel szerint kifejtjük és a egyenlő hatványait tartalmazó tagokat összevonjuk. Ekkor a legmagasabbfokú tag kiesik, a következő a többiben pozitív tényezők -gyel vannak szorozva , ami pozitív. A bal oldalt a fenti módon alakítva szorzattá szorzója egy -tagú összeg, aminek a tagjai -nak -nél kisebb kitevőjű hatványai, és így nem nagyobbak -nél, tehát -nél sem. Az egyenlőtlenség tehát teljesül. III. megoldás. A feladat annak a belátását kívánja, hogy a | | polinom olyan függvényt állít elő, amelyik nemnegatív, ha értéke legalább 1. Ha , akkor a polinommal van dolgunk, hacsak . Ha , akkor . Így az állítás bizonyításához elég azt megmutatni, hogy a függvény növekszik, , ehhez pedig azt, hogy a deriváltja pozitív ezekre az értékekre. A derivált | |
A nevezőre a binomiális tételt alkalmazva
A számlálót így írhatjuk: | | Itt, mivel tehát az első különbség nemnegatív, a második pozitív, és így a számláló is pozitív, tehát is, és ezt akartuk belátni. |
|