|
Feladat: |
1990. évi Kürschák matematikaverseny 2. feladata |
Korcsoport: 18- |
Nehézségi fok: nehéz |
Megoldó(k): |
Boncz András , Faragó Gergely , Harcos Gergely , Matolcsi Máté , Pór Attila , Szegedy Balázs , Szegedy Krisztián , Szendrői Balázs , Újváry-Menyhárt Zoltán |
Füzet: |
1991/február,
54 - 59. oldal |
PDF | MathML |
Témakör(ök): |
Körülírt kör középpontja, Hozzáírt körök, Szögfelező egyenes, Vetítések, Ceva-tétel, Párhuzamos szelők tétele és megfordítása, Tengelyes tükrözés, Síkgeometriai számítások trigonometria nélkül, Síkgeometriai számítások trigonometriával, Magasságvonal, Húrnégyszögek, Háromszögek hasonlósága, Pont körüli forgatás, Középpontos és egyéb hasonlósági transzformációk, Kürschák József (korábban Eötvös Loránd) |
Hivatkozás(ok): | Feladatok: 1991/február: 1990. évi Kürschák matematikaverseny 2. feladata |
|
A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. I. megoldás: A megoldást a következő megjegyzésre építjük. Egy háromszög egy csúcsát a szemközti oldal egy pontjával összekötő szakaszhoz egyértelműen tartozik egy arányszám, amelyikre igaz, hogy egy pont akkor és csak akkor pontja a szakasznak, ha a pont és a szakasszal közös csúcsból induló oldalak távolságainak az aránya az adott érték.
1. ábra Ha az háromszög egy pontjának merőleges vetülete a , és oldalon rendre , és (1. ábra), akkor az , , egyenesekhez (ill. a háromszögbe eső szakaszaikhoz) tartozó arányok
| | és így Ha fordítva, egy az csúcson és egy a csúcson átmenő egyenes metszéspontja, akkor a két egyeneshez tartozó arány a fenti és érték. Ha fennáll (2), akkor is a fenti érték, s így a ponton átmenő egyenes is átmegy -n. Más szóval, ha az ,, csúcson átmenő egy-egy egyenesszakaszhoz tartozó arány , , , akkor a szakaszok akkor és csak akkor mennek át egy ponton, ha teljesül (2).
2. ábra A feladatra térve , , a megfelelő külső szögfelezők metszéspontja, így az , , csúcsok az háromszög oldalaira esnek (2. ábra). Jelöljük az háromszög szögeit a szokásos módon , , -val; merőleges vetületét az , oldalon -vel, illetőleg -mal, és megfelelően a másik két pont vetületeit, amint az ábra mutatja. Ekkor az egyenesre vonatkozó arány az háromszögben | |
Hasonlóan | | és a három arány szorzata Tudjuk azonban, hogy a háromszög egy szögének a felezője a szemközti oldalt olyan szakaszokra osztja, amelyeknek az aránya megegyezik a mellettük fekvő oldalak arányával. Ezt egymás után , , majd a háromszögekre alkalmazva. | |
Ezek figyelembevételével azt kapjuk, hogy a fenti szorzat értéke , tehát az előrebocsátott megjegyzés értelmében a három egyenes egy ponton megy keresztül, és ezt kellett bizonyítanunk.
Megjegyzések. 1. A pontról csak annyit használtunk fel, hogy az háromszögben van, így a feladat állítása a háromszög bármely pontjára igaz. 2. A bevezető megjegyzésben a háromszög pontjaira szorítkoztunk. Ettől a megszorítástól azonban megszabadulhatunk, ha a háromszög oldalaitól mért távolságot előjelesen értjük: pozitívnak tekintjük azokra a pontokra, amelyek az oldalnak a háromszöget tartalmazó partján vannak, és negatívnak a másik félsík pontjaira. Ekkor csak a háromszög oldalegyeneseit célszerű kizárni. 3. Megvizsgáljuk most a kérdést ennek megfelelően tekintetbe véve az egész síkot. Legyen az háromszög oldalának egy pontja , merőleges vetülete az és oldalon és (3. ábra). Ekkor ‐ a háromszög szögeit a szokásos módon jelölve ‐ az egyenest jellemző arány
| |
3. ábra Ha és a , illetőleg az oldal egy-egy pontja, és felírjuk hasonló módon a és a egyenesre vonatkozó és arányt is, akkor a jobb oldalak szorzatában a számlálóban is, a nevezőben is ugyanaz a szinusz-szorzat lép fel, így azzal egyszerűsíthetünk. Azt kapjuk tehát, hogy a (2) bal oldalán álló szorzat a következővel egyenlő: | | (3) |
Az is látható, hogy a felírt arányegyenlőségek előjelet tekintve is helyesek maradnak, ha az oldalegyeneseken egy-egy irányt pozitívnak, az ellentéteset negatívnak tekintve előjeles szakaszokkal számolunk, és az egyenesektől mért távolságot is előjelezve értjük a korábban mondott módon. Irányítsuk az oldalegyeneseket például a háromszög óramutatóval ellentétes irányú körüljárásának megfelelően. Az továbbra is fennáll, hogy ha az , , egyenes egy ponton megy keresztül, akkor a (2) szorzat értéke, és így a (3) arányé is 1. A megfordítás helyességének igazolásánál a háromszögben futó két szakasz metszéspontjából indultunk ki. Most azonban felléphetnek párhuzamos egyenesek is.
4. ábra Ha a három egyenes párhuzamos, válasszuk a betűzést úgy, hogy a csúcs a másik kettőn át húzott párhuzamosok közé essék (4. ábra). Ekkor alkalmazzuk a párhuzamos szelők tételét az és a szögeket átmetsző párhuzamosokra: | | Ezeket a (3) törtbe helyettesítve kapjuk, hogy annak az értéke akkor is , ha a három egyenes párhuzamos. Megfordítva, ha és párhuzamos, akkor nem metszheti őket, mert ha metszené, akkor korábbi meggondolásunk szerint és metszéspontján kellene átmennie -nek is. Azt kaptuk tehát, hogy véve az háromszög , , oldalegyenesének egy-egy, a csúcsoktól különböző , , pontját, az , és egyenesek egy ponton mennek át, vagy párhuzamosak akkor és csak akkor, ha a (3) arány értéke . Ez Ceva tétele. Ezt a versenyzők nagy része ismerte és felhasználta megoldásában.
4. Többen ismerték és felhasználták azt is, hogy ha a háromszög egy-egy csúcsán átmenő három egyenes egy ponton megy keresztül, vagy párhuzamosak az egyenesek, és mindegyiket tükrözzük a megfelelő szögfelezőre, akkor a tükrözött egyenesek is vagy egy ponton mennek át, vagy párhuzamosak.
5. ábra Valóban, legyen a egyenes egy pontja, és messe az egyenesnek az csúcsból induló szögfelezőre vonatkozó tükörképe a egyenest az pontban. A jelöléssel, mivel a szögfelezőre tükrözünk, (5. ábra). Felhasználva a szinusztételt az , , , háromszögekre
Felírva a megfelelő arányokat a és a tükörképének metszéspontjaként keletkező és pontokra is és összeszorozva őket, a számlálóban is, a nevezőben is a háromszög három szöge szinusza négyzetének szorzata keletkezik, így ezzel egyszerűsíthetünk. Azt kapjuk tehát, hogy a kétvesszős pontokra felírt (3)-nak megfelelő kifejezés a vesszős pontokra felírtnak a reciprok értéke. Így Ceva tételéből következik a kimondott állítás helyessége.
II. megoldás: Jelöljük az háromszög szögeit rendre , , -val; az , , egyenesnek és az háromszög szemközti oldalának a metszéspontját , , -vel; húzzunk továbbá -n át párhuzamost a egyenessel, messe ez a , egyenest a , illetőleg pontban (6. ábra).
6. ábra A háromszöghöz hozzáírt körök középpontjai a háromszög két-két külső és egy belső szögfelezőjének a metszéspontjai, továbbá az egy csúcsból induló belső és külső szögfelező merőleges egymásra, így az , , csúcsok az háromszög oldalain feküsznek, a háromszög magasságainak talppontjai. Ennek folytán húrnégyszög, tehát a szerkesztés szerint pedig | |
Eszerint húrnégyszög, mert az és az pontból ugyanakkora szögben látszik. Ekkor a -n átmenő szelők szeleteinek szorzata egyenlő: Ez átrendezhető így: | |
A jobb oldalt átalakítjuk. A párhuzamos szelők tétele, továbbá a szögfelezőre vonatkozó osztásarányi tétel alapján A második tényezőben az alap így alakítható át, a szinusztételt először az háromszögre, majd ellenkező irányban az háromszögre alkalmazva: | |
Ezek szerint | |
Írjuk fel a megfelelő összefüggéseket -re és -re is: | |
A három egyenlőség megfelelő oldalait összeszorozva a jobb oldalon -et kapunk, tehát | |
Mivel , , az háromszög megfelelő oldalának belső pontja, így az , , egyenesek nem lehetnek párhuzamosak, tehát Ceva tétele szerint egy ponton mennek keresztül.
III. megoldás: Az előző megoldás jelöléseit használva az ott követett gondolatmenet ismétlésével kapjuk, hogy és . Így az , , és háromszög hasonló. Az elsőt és a másodikat a harmadikba egy , illetőleg körüli forgatás és ugyanezen középpontú alkalmas hasonlósági transzformáció viszi át, a harmadikat a negyedikbe pedig egy tükrözés a -ból induló (belső) szögfelezőre és középpontú hasonlósági transzformáció. Mindezek a transzformációk a szakaszok arányát és a szögek nagyságát változatlanul hagyják.
7. ábra Vigye át az első és a második transzformáció -et és -et -be, illetőleg -be (7. ábra). Ekkor | |
A megfelelő oldalakat összeszorozva és szorozva még mindkét oldalt az aránnyal, a jobb oldalon keletkező tört a szögfelezőre vonatkozó osztásarányi tétel szerint lesz, ez pedig Ceva tétele szerint azt jelenti, hogy az , és egyenesek egy ponton mennek keresztül. A föntebb említett harmadik transzformáció ezeket az egyeneseket az ugyancsak egy ponton átmenő , , egyenesekbe viszi át. Ezek közül az utolsó egyenes a egyenes tükörképe a -ból induló szögfelezőre. Hasonló igaz azonban a másik két egyenesre is. Ugyanis a transzformáció például a szöget a szögbe viszi át, viszont az első transzformáció révén az előbbi szögbe a megy át, ami éppen azt jelenti, hogy és egymás tükörképe az -ból induló szögfelezőre nézve. Hasonlóan okoskodhatunk a harmadik egyenes esetében is. Ekkor azonban , , is egy ponton megy keresztül, mint egy ponton átmenő egyeneseknek a megfelelő szögfelezőkre vonatkozó tükörképei. |
|