Feladat: 1989. évi Kürschák matematikaverseny 2. feladata Korcsoport: 18- Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):  Balogh József ,  Benczúr Péter ,  Bodor András ,  Boncz András ,  Fleiner Tamás ,  Gerlits Ferenc ,  Hausel Tamás ,  Pór Attila ,  Sustik Mátyás ,  Újváry-Menyhárt Zoltán 
Füzet: 1990/február, 57 - 59. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Természetes számok, Tizes alapú számrendszer, Maradékos osztás, Egyenlőtlenségek, Oszthatóság, "a" alapú számrendszer (a >1, egész szám), Kürschák József (korábban Eötvös Loránd)
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1990/február: 1989. évi Kürschák matematikaverseny 2. feladata

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás. M=1 természetesen megfelel, mivel k csak 1 lehet. Nagyobb M-ekre nézzük meg a k=2 választást. Tudjuk, hogy egy szám 9-cel osztva ugyanannyi maradékot ad, mint a számjegyeinek az összege. Így

9|M-S(M),és9|2M-S(2M),
amiből, különbségüket képezve,
9|(2M-S(2M)-(M-S(M))=M-S(2M)+S(M)=M.
A feladat feltétele tehát az 1-en kívül csak 9-cel osztható számokra teljesülhet.
Tegyük fel, hogy M egy n-jegyű szám, amelyre teljesül a feladat feltétele:
10n-1≦M<10n,
és első jegye a(≧1), M=a10n-1+A, ahol A legfeljebb (n-1) jegyű. (Lehet 0 is; ha n=1, akkor csak az lehet.) Mivel M osztható 9-cel, így nagyobb 10n-1-nél, tehát k választható 10n-1+1-nek. Ekkor
kM=(10n-1+1)M=10n-1(M+a)+A.
Az első tag (n-1) darab 0-val végződik, a második legfeljebb (n-1)-jegyű, tehát az összeadásnál minden jegyét 0-hoz kell adni. A számjegyösszeg tehát a két tag jegyösszegének az összege.
Az első tag jegyösszegét a végén álló nullák nem befolyásolják, így annak jegyösszege S(M+a). A jegyei azonosak M jegyeivel, a kivételével, így S(A)=S(M)-a. A feladat feltétele tehát akkor teljesül, ha S(M+A)=a.
Ha M+a is n-jegyű, akkor első jegye vagy a, és ekkor van még 0-tól különböző jegye, mivel nagyobb M-nél, vagy pedig a+1 az első jegye. Jegyösszege mindkét esetben nagyobb a-nál. Ha M+a(n+1)- jegyű, tehát legalább 10n, akkor
10n>M≧10n-a≧10n-9,
ebbe a számközbe pedig csak egy 9-cel osztható szám esik: 10n-1, vagyis az n darab kilencessel írt szám. (n tetszőleges pozitív egész szám.)
Megmutatjuk, hogy az ilyen alakú számok megfelelnek. Legyen M=10n-1 és 2≦k≦M. Ekkor
kM=(k-1)10n+10n-k=(k-1)10n+(10n-1)-(k-1).
Itt az első tag n darab 0-val végződik, a második az n darab kilencessel írt szám, a kivonandó pedig legfeljebb n-jegyű. Így a jegyösszeg ismét az első tag jegyösszegének és a különbség jegyösszegének az összege. Az első tag jegyösszege S(k-1), a különbség képzésénél pedig k-1 minden jegyét 9-ből kell levonni, tehát átvitelre nem kerül sor. Így a különbség jegyösszege 9n-S(k-1). kM jegyösszege tehát 9n, ami megegyezik S(M)-mel. Ezt akartuk belátni.
 

II. megoldás. Az előző megoldásból átvesszük azt, hogy csak 9-cel osztható számok jönnek szóba, és hogy az 1 és a 10n-1 alakú számok megfelelnek. Ezekre támaszkodva látjuk be, hogy ezek már megadják az összes megfelelő számot.
Legyen M egy 1-nél nagyobb megfelelő szám. Legyen hozzá n az a pozitív egész, amelyre (10n-1)/9≦M<(10n+1-1)/9. Az alsó korlátot választva k-nak
S(kM)=S((M/9)(10n-1)).
Itt M/9<(10n+1-1)/81<(10n-1). Mivel (10n-1)-re teljesül a feladat feltétele,
S(M9(10n-1)=S(10n-1)=9n.
Ha M n-jegyű, akkor ez csak úgy egyezhet meg S(M)-mel, ha M az n darab kilencessel írt szám, 10n-1. Ha M (n+1)-jegyű, akkor első jegye csak 1 lehet és a további jegyei közt kell 0-nak lennie, mert kisebb a csupa egyessel írt számnál. Ekkor azonban jegyösszege legfeljebb 1+9(n-1)<9n volna. A feltételnek tehát valóban csak a mondott számok felelnek meg.
Ez Fleiner Tamás megoldása.
 

Megjegyzések: 1. Ugyanígy adódik tetszés szerinti b alapú számrendszer esetén, hogy az 1 és a csupa (b-1)-es jeggyel írt számok a kívánt tulajdonságúak.
2. Láttuk, hogy a 9-cel nem osztható számok már k=2-re sem elégítik ki a megkívánt egyenlőséget. Nem látszik azonban könnyű kérdésnek, hogy egy 9-cel osztható számhoz melyik a legkisebb k, amelyiknél ez bekövetkezik. A II. megoldás valamivel nagyobb k-ra mutatja ezt meg, mint az I. Sok számhoz található, azonban annál is jóval kisebb "rossz'' k érték. Már a 2 ilyen pl. 324-hez, a 3 a 126-hoz, a 4 a 117-hez, az 5 a 351-hez, a 6 a 189-hez, viszont 198-hoz az I. megoldás szolgáltatta 101 a legkisebb k érték. Nem nagyon látszik, hogy ez a legkisebb k érték a szám milyen tulajdonságaitól függ.