|
Feladat: |
1987. évi Kürschák matematikaverseny 1. feladata |
Korcsoport: 18- |
Nehézségi fok: nehéz |
Megoldó(k): |
Benczúr András , Dinnyés Enikő , Drasny Gábor , Fleiner Tamás , Gács András , Keleti Tamás , Lengyel Csaba , Lipták László , Rimányi Richárd , Tasnádi Tamás |
Füzet: |
1988/február,
50 - 52. oldal |
PDF | MathML |
Témakör(ök): |
Egyenletrendszerek, Egyenlőtlenségek, Természetes számok, Kürschák József (korábban Eötvös Loránd) |
Hivatkozás(ok): | Feladatok: 1988/február: 1987. évi Kürschák matematikaverseny 1. feladata |
|
A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. I. megoldás. Mivel a négy szám szerepe semmiben sincs kitüntetve egymáshoz képest, feltehetjük az általánosság megszorítása nélkül, hogy a legkisebb, továbbá, hogy , tehát Nem lehet , mert akkor , és így | | kellene, hogy fennálljon, de ez lehetetlen. Eszerint tehát | | Ez csak úgy állhat fenn, ha mindenütt az egyenlőség jele érvényes, tehát | |
Az és számpár valóban megfelel a feltételeknek. Ezekből további megfelelő számpárt kapunk, ha a párok elemeit egymás közt felcseréljük, továbbá ha a két párt megcseréljük.
II. megoldás. Alakítsuk át a feltételi egyenlőségek felhasználásával az szorzatot: | | azaz Miután a feladat pozitív egész számokról szól, ez csak úgy állhat fenn, ha a bal oldalon vagy mindkét tag , vagy az egyik , a másik . Az első lehetőség egyedül az esetben következik be. Ezekre teljesülnek a feladatban megkívánt egyenlőségek, de a számok nem különbözők. A második eset akkor következik be, ha az egyik szám , mondjuk , amiből következik, hogy Feltehetjük, hogy . Ekkor , kell, hogy legyen, azaz , és . Ezek az értékek kielégítik a feladat összes követelményét.
III. megoldás. A feltételi egyenlőségekből következik, hogy | | A jobb oldalon vagy mind a két tényező , vagy az egyik ‐ mondjuk az első ‐ nagyobb, a másik kisebb, mint . Az első feltétel csak úgy teljesülhet, ha mindegyik tört értéke , tehát , de ezek nem különbözők. A második esetben, tehát ha nem lehet , mert akkor , s így Eszerint , s így , amiből következik, hogy | | Nem lehet , mert akkor , s így Eszerint és a feltételi egyenletek így alakulnak: tehát , . Az számpárok megfelelnek a feltételeknek.
Megjegyzés. Miután megállapítottuk, hogy , érdekes befejezés a következő: az egyenlőségekből a másodikat -vel szorozva és az elsőt felhasználva Az egyenlőséget -gyel szorozva így alakítjuk át: | | A négyzetszámok közül csak az és a különbsége , tehát , , és innen ismét megkapjuk az előbbi két számpárt.
IV. megoldás. A feltételi egyenletekből következik, hogy Mind a két tört pozitív , s így vagy is, is , vagy az egyik, mondjuk az első, kisebb -nél, a második nagyobb nála. Az első esetben , amiből , s így ‐ pozitív egész számokról lévén szó ‐ . Ezek azonban nem különbözők. A második esetben , és mivel egész számokról van szó, | | A bal oldal nem lehet negatív, tehát az értéke, vagyis az egyik szám, mondjuk . Ekkor amiből -t kifejezve Mivel egész, így csak vagy lehet, megfelelő értékei pedig ill. . Ezzel ismét az és számpárokhoz jutottunk. |
|