Kezdőlap


Feladat:	1977. évi Kürschák matematikaverseny 1. feladata	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Hajnal Péter , Kozma László , Pyber László , Spissich László , Surány Gábor , Varga Tamás , Zádori László , Zempléni András
Füzet:	1978/február, 50 - 51. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Prímszámok, Egyenletek, Exponenciális egyenletek, Oszthatóság, Egyenlőtlenségek, Tizes alapú számrendszer, Kürschák József (korábban Eötvös Loránd)
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1978/február: 1977. évi Kürschák matematikaverseny 1. feladata

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Csak pozitív egészek jönnek tekintetbe, mert negatívokra a

\begin{matrix} K = x^{4} + 4^{x} \end{matrix}

kifejezés nem is egész,

0

-ra pedig

1

. Pozitív páros számokra

K

osztható

4

-gyel, tehát összetett.
Ha

x

pozitív páratlan szám, akkor

2 y + 1

alakban írva

\begin{matrix} 4^{x} = 4 \cdot 4^{2 y} = 4 {(2^{y})}^{4} . \end{matrix}

Írjunk

2^{y} = 2^{\frac{x - 1}{2}}

helyébe

z

-t, akkor kifejezésünk így alakítható:

\begin{matrix} K & = x^{4} + 4 z^{4} = x^{4} + 4 z^{4} + 4 x^{2} \cdot z^{2} - 4 x^{2} z^{2} = {(x^{2} + 2 z^{2})}^{2} - {(2 x z)}^{2} = \\ = (x^{2} + 2 z^{2} + 2 x z) (x^{2} + 2 z^{2} - 2 x z) = ({(x + z)}^{2} + z^{2}) ({(x - z)}^{2} + z^{2}) . \end{matrix}

Itt az első tényező mindig nagyobb, mint

1

, mert mindegyik tagja legalább

1

. A második tényező pedig csak akkor lehet

1

, ha

x = z = 1

. Mivel

\begin{matrix} x = 2 y + 1 z = 2^{y}, \end{matrix}

így ez abban az egy esetben következik be, ha

x = 1

y = 0

. Ekkor

\begin{matrix} x^{4} + 4^{x} = 5, \end{matrix}

p

azonban

5

-nél nagyobb. Így a feladatban szereplő egyenletnek valóban nincs egész megoldása.

Megjegyzések. 1. A bizonyítás a feladat állításánál lényegesen többet adott, könnyen kiolvasható belőle a következő:
Ha

x

és

z

tetszés szerinti egész szám, akkor

\begin{matrix} N = x^{4} + 4 z^{4} \end{matrix}

csak akkor nem összetett, ha

\begin{matrix} | x | = 1 és z = 0 vagy | z | = 1. \end{matrix}

Valóban, mivel

x

is,

z

is páros kitevőn szerepel, a negatív értékeket abszolút értékükkel helyettesíthetjük. Ha

x = 0

, akkor

N = 4 z^{4}

összetett

(z = 0

-ra

N = 0)

. Ha pedig

z = 0

, akkor

| x | = 1

-re

N = 1

| x | > 1

-re összetett.
2. Az itt használt azonosságon alapult az 1969. évi Nemzetközi Matematikai Diákolimpia 1. feladatának¹ megoldása. Erre több versenyző is utalt.
3. Sokan észrevették, hogy ha

x

páratlan és nem osztható

5

-tel, akkor

x^{4}

(tíz alapú számrendszerben felírva)

1

-re végződik,

4^{x}

pedig

4

-re, tehát

x^{4} + 4^{x}

osztható

5

-tel és ha

x > 1

, akkor nagyobb

5

-nél. Nem tudtak azonban mit kezdeni azzal az esettel, ha

x

5

páratlan többszöröse.

¹Lásd pl. Bakos T. ‐ Lőrincz P. ‐ Tusnády G.: Középiskolai Matematikai Versenyek, 1969. 109‐110. old.