Kezdőlap


Feladat:	1975. évi Kürschák matematikaverseny 3. feladata	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Bodó Zalán , Jakab Tibor , Lelkes András , Miklós Dezső
Füzet:	1976/február, 57 - 58. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Számsorozatok, Egyenlőtlenségek, Kürschák József (korábban Eötvös Loránd)
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1976/február: 1975. évi Kürschák matematikaverseny 3. feladata

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Megoldás. Könnyű látni, hogy a sorozat pozitív, sőt növekedő tagokból áll, hiszen $a_{0} = 5$ pozitív, és ha egy $a_{n}$ tag pozitív, a következő nagyobb nála a pozitív $1 / a_{n}$ értékkel. A növekedés mértékére jó közelítést kapunk, ha a sorozat elemeinek négyzetét vizsgáljuk:

\begin{matrix} a_{n + 1}^{2} = a_{n}^{2} + 2 + \frac{1}{a_{n}^{2}} . \end{matrix}

Ha ezt

n = 0,1,2, ...,

(k - 1)

-re felírjuk és összeadjuk, akkor a bal oldalon

a_{1}^{2}

-től

a_{k}^{2}

-ig szerepelnek a tagok, a jobb oldalon pedig fellép

a_{0}^{2}

-tól

a_{k - 1}^{2}

-ig a megfelelő összeg. Így az egyenlő tagokat a két oldalról elhagyva, azt kapjuk, hogy

\begin{matrix} a_{k}^{2} = a_{0}^{2} + 2 k + \sum_{n - 0}^{k - 1} \frac{1}{a_{n}^{2}} . \end{matrix}

(5)

k = 1000

-re azt adja, hogy

\begin{matrix} a_{1000}^{2} = 2025 + \sum_{n - 0}^{999} \frac{1}{a_{n}^{2}} = 45^{2} + \sum_{n - 0}^{999} \frac{1}{a_{n}^{2}} > 45^{2} . \end{matrix}

(6)

Ezzel a kívánt alsó becslést meg is kaptuk.
A felső becsléshez, mivel

45, 1^{2} = 2034, 01

, elég azt megmutatni, hogy a

(6)

-ban szereplő

1000

-tagú összeg kisebb, mint

9, 01

. Mivel a sorozat elemei pozitívak és növekednek, így az egymás utáni tagok négyzetei reciprok értékének az összegét nagyobbítjuk, ha mindegyik tagot a legkisebb indexűvel, vagy annál kisebb számmal helyettesítjük.
Válasszuk szét az összeget az első

100

és a maradó

900

tag összegére. Mivel

(5)

alapján

\begin{matrix} a_{100}^{2} > 225, \end{matrix}

így azt nyerjük, hogy

\begin{matrix} \sum_{n - 0}^{999} \frac{1}{a_{n}^{2}} = \sum_{n - 0}^{99} \frac{1}{a_{n}^{2}} + \sum_{n - 100}^{999} \frac{1}{a_{n}^{2}} < \frac{100}{a_{0}^{2}} + \frac{900}{a_{100}^{2}} < \frac{100}{25} + \frac{900}{225} = 4 + 4 = 8. \end{matrix}

Ezzel a kívántnál valamivel jobb felső becslést kaptunk.

Megjegyzések. A megoldásban alkalmazott meggondoláshoz hasonlóan okoskodhatunk az eredeti képzési szabály alapján is, amint ezt többen is tették. Ekkor azt kapjuk, hogy

\begin{matrix} a_{n + k} = a_{n} + \frac{1}{a_{n}} + \frac{1}{a_{n + 1}} + ... + \frac{1}{a_{n + k - 1}} > a_{n} + \frac{k}{a_{n}} . \end{matrix}

Ennek alapján azonban lényegesen nagyobb, közel egy egységnyire eső korlátok közé sikerült csak szorítani a versenyzőknek

a_{1000}

-et.
2. Egy elektronikus zsebszámológép 6,5 perc alatt kiszámította az

a_{1000}

-t és a 45,0245458 értéket adta. A feladat állításának bizonyításához ezen az eredményen túl a számítási hiba megbecslése is szükséges volna.