Feladat: 1975. évi Kürschák matematikaverseny 1. feladata Korcsoport: 18- Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):  Bodó Zalán ,  Jakab Tibor ,  Lelkes András ,  Miklós Dezső ,  Moussong Gábor 
Füzet: 1976/február, 54 - 55. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Számkörök, Másodfokú (és arra visszavezethető) egyenletek, Másodfokú függvények, Gyökös függvények, Törtfüggvények, Kürschák József (korábban Eötvös Loránd)
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1976/február: 1975. évi Kürschák matematikaverseny 1. feladata

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás. A feltételek szerint a nevezőben szereplő kifejezések 0-tól különbözők, így a kifejezéseknek mindig van értelme. (1)-ben b-nek első és második hatványa fordul elő, így tekinthetjük b-re vonatkozóan másodfokú egyenletnek. Redukáljuk 0-ra:

2aa2+c2(a2-c2)2b2-b-a=0.

Feltételeink szerint b ennek pozitív gyöke. Mivel a másodfokú tag együtthatója és a konstans tag ellenkező előjelű, a másodfokú egyenletnek egy pozitív és egy negatív gyöke van. Eszerint az adott összefüggés pontosan akkor áll fenn, ha
b=-1+1+8a2(a2+c2)/(a2-c2)24a(a2+c2)/(a2-c2)2==(a2-c2)(c2-a2+(a2-c2)2+8a2(a2+c2))4a(a2+c2)==(a2-c2)(c2-a2+9a4+6a2c2+c4)4a(a2+c2).
Itt a négyzetgyökös kifejezés (3a2+c2)-tel egyenlő, mert ez pozitív, és ennek a négyzete áll a gyökjel alatt. A 0-tól kölönböző 2(a2+c2)-tel egyszerűsítve azt kapjuk, hogy
b=a2-c22avagy2ab=a2-c2.

Ez, mint láttuk, ugyanakkor teljesül, mint a feladatban szereplő összefüggés, tehát annak egyszerűbb alakja.
 
Megjegyzések. 1. A nyert összefüggésből az is látható, hogy a2b.
2. Többen c2-re vonatkozóan tekintették másodfokú egyenletnek az adott összefüggést. Ezen az úton kicsit bonyolult számítás vezet el a fenti eredményhez.
 
II. megoldás. Az (1) összefüggésből az a>c0 feltétel folytán vele egyenértékű összefüggést kapunk, ha (a2-c2)2-nel megszorozzuk mindkét oldalt. Jelöljük (a2-c2)-et átmenetileg d-vel, ekkor c2-et d-vel fejezve ki a2+c2=2a2-d, s így a következőt kapjuk:
4a3b2-2ab2d=ad2-bd2,
a bal oldalon
2ab-bd2a
négyzetének a-szorosát kapjuk, ha a két oldalhoz b2d2/4a-t adunk:
a(2ab-bd2a)2=b2d24a+ad2-bd2=14a(b2d2+4a2d2-4abd2)=14a(2ad-bd)2.
Szorozzunk 4a-val és redukáljunk 0-ra. Ekkor a keletkező kifejezés szorzattá alakítható:
(4a2b-bd)2-(2ad-bd)2=(4a2b+2ad-2bd)(4a2b-2ad)==4a((a2+c2)b+a(a2-c2))(2ab-a2+c2).


Az első tényező az a>c0 feltétel miatt pozitív, így a szorzat akkor 0, ha
2ab-a2+c2=0.(2)
Ez az összefüggés tehát akkor és csak akkor teljesül, ha (1) fennáll.
 
Megjegyzés. A (2) összefüggést tekinthetjük másodfokú egyenletnek a-ra vonatkozóan. Ennek is egy pozitív és egy negatív gyöke van. Így az a>0 feltétel szerint
a=b+c2+b2.

Ez az összefüggés is ekvivalens tehát az (1) összefüggéssel. Nem szoktuk egyszerűbbnek tekinteni (2)-nél pl. a benne fellépő négyzetgyökvonás miatt, ez azonban végső soron ízlés kérdése csak.
A nyert eredmény érdekes abból a szempontból, hogy mutatja: az adott feltételek mellett az (1) összefüggésben bármelyik két mennyiség egyértelműen határozza meg a harmadikat. Mint láttuk, a és b megadása esetén még az a2b feltételnek is kell teljesülnie.