|
Feladat: |
1975. évi Kürschák matematikaverseny 1. feladata |
Korcsoport: 18- |
Nehézségi fok: nehéz |
Megoldó(k): |
Bodó Zalán , Jakab Tibor , Lelkes András , Miklós Dezső , Moussong Gábor |
Füzet: |
1976/február,
54 - 55. oldal |
PDF | MathML |
Témakör(ök): |
Számkörök, Másodfokú (és arra visszavezethető) egyenletek, Másodfokú függvények, Gyökös függvények, Törtfüggvények, Kürschák József (korábban Eötvös Loránd) |
Hivatkozás(ok): | Feladatok: 1976/február: 1975. évi Kürschák matematikaverseny 1. feladata |
|
A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. I. megoldás. A feltételek szerint a nevezőben szereplő kifejezések -tól különbözők, így a kifejezéseknek mindig van értelme. -ben -nek első és második hatványa fordul elő, így tekinthetjük -re vonatkozóan másodfokú egyenletnek. Redukáljuk -ra: Feltételeink szerint ennek pozitív gyöke. Mivel a másodfokú tag együtthatója és a konstans tag ellenkező előjelű, a másodfokú egyenletnek egy pozitív és egy negatív gyöke van. Eszerint az adott összefüggés pontosan akkor áll fenn, ha
Itt a négyzetgyökös kifejezés -tel egyenlő, mert ez pozitív, és ennek a négyzete áll a gyökjel alatt. A -tól kölönböző -tel egyszerűsítve azt kapjuk, hogy Ez, mint láttuk, ugyanakkor teljesül, mint a feladatban szereplő összefüggés, tehát annak egyszerűbb alakja.
Megjegyzések. 1. A nyert összefüggésből az is látható, hogy . 2. Többen -re vonatkozóan tekintették másodfokú egyenletnek az adott összefüggést. Ezen az úton kicsit bonyolult számítás vezet el a fenti eredményhez.
II. megoldás. Az összefüggésből az feltétel folytán vele egyenértékű összefüggést kapunk, ha -nel megszorozzuk mindkét oldalt. Jelöljük -et átmenetileg -vel, ekkor -et -vel fejezve ki , s így a következőt kapjuk: a bal oldalon négyzetének -szorosát kapjuk, ha a két oldalhoz -t adunk: | | Szorozzunk -val és redukáljunk -ra. Ekkor a keletkező kifejezés szorzattá alakítható:
Az első tényező az feltétel miatt pozitív, így a szorzat akkor , ha Ez az összefüggés tehát akkor és csak akkor teljesül, ha fennáll.
Megjegyzés. A összefüggést tekinthetjük másodfokú egyenletnek -ra vonatkozóan. Ennek is egy pozitív és egy negatív gyöke van. Így az feltétel szerint Ez az összefüggés is ekvivalens tehát az összefüggéssel. Nem szoktuk egyszerűbbnek tekinteni -nél pl. a benne fellépő négyzetgyökvonás miatt, ez azonban végső soron ízlés kérdése csak. A nyert eredmény érdekes abból a szempontból, hogy mutatja: az adott feltételek mellett az összefüggésben bármelyik két mennyiség egyértelműen határozza meg a harmadikat. Mint láttuk, és megadása esetén még az feltételnek is kell teljesülnie. |
|