|
Feladat: |
1973. évi Kürschák matematikaverseny 1. feladata |
Korcsoport: 18- |
Nehézségi fok: nehéz |
Megoldó(k): |
Ablonczy Péter , Bacsó Gábor , Geréb Mihály , Kertész Gábor , Kollár János , Koszó Károly , Neumann Attila , Páles Zsolt , Simányi Nándor , Sütő-Nagy László , Szigeti Jenő , Veres Sándor |
Füzet: |
1974/február,
49 - 51. oldal |
PDF | MathML |
Témakör(ök): |
Binomiális együtthatók, Összefüggések binomiális együtthatókra, Számtani sorozat, Oszthatóság, Maradékos osztás, Kürschák József (korábban Eötvös Loránd) |
Hivatkozás(ok): | Feladatok: 1974/január: 1973. évi Kürschák matematikaverseny 1. feladata |
|
A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. A feladat követelménye szerint a szomszédos binomiális együtthatópárok különbsége egyenlő kell hogy legyen, vagyis a különbségek különbsége : | | (1) | Itt feltesszük, hogy és , azaz Ha az (1) egyenlőség teljesül ‐ és csak akkor ‐ alkot számtani sorozatot a három binomiális együttható. Szorozzunk -sal. Ez (2) folytán létezik és pozitív, így (1) akkor és csak akkor teljesül, ha
Eszerint egy egész szám négyzeténél -vel kisebb: alakú, ahol természetes szám és itt vagy , azaz vagy Az utolsó alakból látható, hogy -ra egész értéket kapunk. Itt kell hogy legyen, hogy pozitív egésznek adódjék. Az -höz tartozó két értékre azonban (2) első, ill. második egyenlőtlensége nem teljesül. Ha , akkor Mivel pedig , és , így mindkét érték kielégíti -t. A feladat követelményei teljesülésének szükséges és elégséges feltételéből indultunk ki és ekvivalens átalakításokat végeztünk, így azok az , számpárok felelnek meg, amelyeknél valamilyen 2-nél nagyobb egésszel | |
Megjegyzések. 1. Még az -höz tartozó és érték is elfogadható, ha -n 0-t értünk, amennyiben negatív vagy nagyobb, mint . Ekkor ugyanis a 0, 1, 2, ill. a 2, 1, 0 számtani sorozatot kapjuk. (Egy versenyző azt is megjegyezte, hogy ezzel a megállapodással bármely pozitív egész és , ill. érték is megfelel.)
2. A könnyen igazolható | | összefüggés két oldalából levonva (1) megfelelő oldalait, adódik, hogy a feladat követelménye akkor és csak akkor teljesül, ha 3. A (3) egyenletet 4-gyel szorozva és szerint egészítve ki teljes négyzetté, adódik, ami páratlan szám négyzete. Ezt -gyel jelölve azt kapjuk, hogy | | és | | Innen | | vagy 4. A megoldásban szereplő két értékről leolvasható, hogy minden megengedett értékhez tartozó nagyobbik érték megegyezik a következő szóbajövő értékhez tartozó kisebbik értékkel. 5. Ha azt kérdezzük, alkothat-e háromnál több egymás utáni binomiális együttható számtani sorozatot, igen könnyű látni, hogy tagadó a válasz. Ekkor ugyanis a sorozat első, második és harmadik eleme is meg a második, harmadik és negyedik elem is háromtagú számtani sorozatot alkotna. Azonban a feladat megoldásában kiderült, hogy az egy értékhez tartozó két értéknek szimmetrikusan elhelyezkedő binomiális együtthatók felelnek meg, így a két nyert elemű sorozat egyike növekedő, a másik csökkenő, nem lehetnek ugyanannak a sorozatnak egymás utáni elemei. 6. A számtani sorozatok az olyan sorozatok, amelyeknél a szomszédos elemek különbsége csupa egyező elemből álló sorozat. Hasonlóan vizsgálhatunk olyan sorozatokat ‐ ún. másodrendű számtani sorozatokat ‐, amelyeknél ezek a különbségek alkotnak számtani sorozatot, és hasonlóan értelmezhetők magasabb rendű számtani sorozatok. Felmerül a kérdés: alkothat-e négy egymás utáni binomiális együttható másodrendű számtani sorozatot. A probléma a fentiekhez hasonlóan egy -ben és -ban harmadfokú egyenletre vezet. Található azonban végtelen sok megoldás a következő egyszerű meggondolással: Ha páratlan, alakú, akkor az -hez tartozó binomiális együtthatók sorozatának közepén két egyenlő binomiális együttható áll és az ezek előtti és utáni binomiális együtthatók is egyenlők. A | | számok különbségei tehát , 0, alakúak, és ez számtani sorozat. Ez arra is vezet, hogy az említett harmadfokú egyenletet könnyű megoldani: a fellépő polinom egy első és egy másodfokú szorzatára bontható, s így már könnyen megtalálhatók a további megoldások. |
|