|
Feladat: |
1968. évi Kürschák matematikaverseny 2. feladata |
Korcsoport: 18- |
Nehézségi fok: nehéz |
Megoldó(k): |
Bajmóczy Ervin , Lempert László , Michaletzky György , Ruzsa Imre , Soltész János , Somorjai Gábor , Takács László |
Füzet: |
1969/november,
98 - 99. oldal |
PDF | MathML |
Témakör(ök): |
Kör geometriája, Vetítések, Derékszögű háromszögek geometriája, Háromszög-egyenlőtlenség alkalmazásai, Skatulyaelv, Egyenlőtlenségek, Kürschák József (korábban Eötvös Loránd) |
Hivatkozás(ok): | Feladatok: 1969/január: 1968. évi Kürschák matematikaverseny 2. feladata |
|
A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. textbfMásodik feladat. Adott a síkban egy egyenes, egy sugarú kör ( egész szám) és a körben darab -es szakasz. Bizonyítsuk be, hogy húzható az adott egyenessel párhuzamosan vagy rá merőlegesen olyan húr, amelynek legalább két szakasszal van közös pontja.
Megoldás. Vetítsük a szakasz mindegyikét az adott egyenesre (ezt vízszintesnek mondjuk) és egy rá merőleges (függőlegesnek mondott) egyenesre. A vízszintes vetületek hossza legyen , , a függőlegeseké pedig , . A feladat állítása egyértelmű azzal a kijelentéssel, hogy vagy a vízszintes, vagy a függőleges vetületek között van kettő, amelyeknek van közös pontjuk. Az -edik szakasz olyan (esetleg szakasszá elfajuló) derékszögű háromszög átfogója, amelynek vízszintes befogója , függőleges befogója pedig hosszúságú (1. ábra). 1. ábra Minthogy a háromszög két oldalának összege a harmadiknál nagyobb, Itt az egyenlőséget is meg kellett engednünk, mert számolunk azzal, hogy a vetített szakasz vízszintes vagy függőleges. Eredményünkből következik, hogy mind a szakasz vetületeinek összege Itt és a következőkben is minden összegezés az értékekre terjed ki. Ha a vízszintes vetületek között nincs két közös pontú, akkor ezek együttesen nem fedik le az -sugarú kör hosszúságú vízszintes vetületét, tehát Ugyanígy, ha a függőleges vetületek között nincs két közös pontú, akkor Ha tehát egyik eset sem következik be, akkor Ez ellentmond fenti eredményünknek. Kell tehát, hogy a mondott két eset valamelyike bekövetkezzék, ami ‐ mint megállapítottuk ‐ a feladat állításának helyességét mondja ki.
Megjegyzés. A feladat megoldásakor zárt szakaszokra gondoltunk, azaz a szakaszokhoz végpontjaikat is hozzászámítottuk. Igaz azonban a feladat állítása nyílt, tehát végpontjaiktól megfosztott szakaszokra is, ennek bizonyításához azonban ki kell egészítenünk megoldásunkat. Ha nyílt szakaszokkal dolgozunk, akkor a kör hosszúságú vetületén elhelyezkedő, közös pont nélküli vetületi szakaszok hosszának összege is lehet, hiszen most a végpontjukkal érintkező szakaszoknak nincs közös pontja. Így tehát csak , és ezekből a eredményhez juthatunk, ami nem jelent ellentmondást. Ha azonban így nem jutunk ellentmondáshoz, tehát a feladat állításának bizonyításához sem, akkor tehát . Ez azt jelenti, hogy a vízszintes vetületek (végpontjaikkal együtt) a kör teljes vízszintes vetületét, az szakaszt beborítják (2. ábra). 2. ábra Ekkor a vetületek között van kezdőpontú és végpontú is. Ilyen vetületet azonban csak a kör vízszintes átmérőjén elhelyezkedő szakaszok adhatnak. Ebben az eddig el nem intézett esetben tehát az adott egyenessel párhuzamos egyenes kielégíti a feladat követelményét, hiszen nemcsak közös pontja van két szakasszal, hanem tartalmazza is azokat. |
|