|
Feladat: |
1968. évi Kürschák matematikaverseny 1. feladata |
Korcsoport: 18- |
Nehézségi fok: nehéz |
Megoldó(k): |
Bajmóczy Ervin , Lempert László , Michaletzky György , Ruzsa Imre , Soltész János , Somorjai Gábor , Soós Miklós , Takács László |
Füzet: |
1969/november,
97. oldal |
PDF | MathML |
Témakör(ök): |
Számtani sorozat, Természetes számok, Számtani közép, Harmonikus közép, Sorozat határértéke, Racionális számok és tulajdonságaik, Kürschák József (korábban Eötvös Loránd) |
Hivatkozás(ok): | Feladatok: 1969/január: 1968. évi Kürschák matematikaverseny 1. feladata |
|
A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. Első feladat. Bebizonyítandó, hogy nincs olyan, természetes számokból álló végtelen sorozat, amelynek nem minden eleme egyenlő, s amelynek minden eleme (a másodiktól kezdve) a két szomszédos elem harmonikus közepe. ( és harmonikus közepe .)
Megoldás. Abból az észrevételből indulunk ki, hogy ha az , számok harmonikus közepe, akkor az , számok számtani közepe, hiszen a értékre . A feladat állítása eszerint a következő módon fogalmazható át: Bebizonyítandó, hogy a természetes számok reciprokaiból nem alkotható olyan végtelen sorozat, amelyben nem minden elem egyenlő, s amelyben minden elem (a másodiktól kezdve) a két szomszédos elem számtani közepe. Ez a kijelentés más szóval azt mondja ki, hogy a természetes számok reciprokaiból nem alkotható nem csupa egyenlő számból álló végtelen számtani sorozat. Ennek helyessége nyomban következik abból, hogy a természetes számok reciprokai mindannyian a intervallumban helyezkednek el, viszont egy nem csupa egyenlő számból álló végtelen számtani sorozat elemeinek abszolút értéke minden határon túl nő.
Megjegyzés. 1. Lényeges a feladatnak az a megszorítása, hogy a végtelen sorozat nem minden eleme egyenlő, mert különben pl. , , ellenpéldát adna a feladat állítására. 2. A feladat állítása akkor is igaz, ha nem természetes, hanem egész számokról szól. Ennek helyessége fenti megoldásunkból nyomban adódik, ha benne a intervallum helyett a intervallumról szólunk. 3. Nem igaz a feladat állítása, ha benne racionális számok végtelen sorozatáról vagy természetes számok véges (tetszőlegesen előírt hosszúságú) sorozatáról van szó. Az első módosítást az , , sorozat példája cáfolja, a másodikat pedig a véges sorozat, amelynek minden eleme természetes szám. |
|