Kezdőlap


Feladat:	1968. évi Kürschák matematikaverseny 1. feladata	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Bajmóczy Ervin , Lempert László , Michaletzky György , Ruzsa Imre , Soltész János , Somorjai Gábor , Soós Miklós , Takács László
Füzet:	1969/november, 97. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Számtani sorozat, Természetes számok, Számtani közép, Harmonikus közép, Sorozat határértéke, Racionális számok és tulajdonságaik, Kürschák József (korábban Eötvös Loránd)
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1969/január: 1968. évi Kürschák matematikaverseny 1. feladata

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Első feladat. Bebizonyítandó, hogy nincs olyan, természetes számokból álló végtelen sorozat, amelynek nem minden eleme egyenlő, s amelynek minden eleme (a másodiktól kezdve) a két szomszédos elem harmonikus közepe. ( $a$ és $b$ harmonikus közepe $\frac{2 a b}{a + b}$ .)

Megoldás. Abból az észrevételből indulunk ki, hogy ha

h

a

b

számok harmonikus közepe, akkor

\frac{1}{h}

\frac{1}{a}

\frac{1}{b}

számok számtani közepe, hiszen a

h = \frac{2 a b}{a + b}

értékre

\frac{1}{h} = \frac{1}{2} (\frac{1}{a} + \frac{1}{b})

. A feladat állítása eszerint a következő módon fogalmazható át: Bebizonyítandó, hogy a természetes számok reciprokaiból nem alkotható olyan végtelen sorozat, amelyben nem minden elem egyenlő, s amelyben minden elem (a másodiktól kezdve) a két szomszédos elem számtani közepe.
Ez a kijelentés más szóval azt mondja ki, hogy a természetes számok reciprokaiból nem alkotható nem csupa egyenlő számból álló végtelen számtani sorozat. Ennek helyessége nyomban következik abból, hogy a természetes számok reciprokai mindannyian a

[0, 1]

intervallumban helyezkednek el, viszont egy nem csupa egyenlő számból álló végtelen számtani sorozat elemeinek abszolút értéke minden határon túl nő.

Megjegyzés. 1. Lényeges a feladatnak az a megszorítása, hogy a végtelen sorozat nem minden eleme egyenlő, mert különben pl.

1

1

1, ...

ellenpéldát adna a feladat állítására.
2. A feladat állítása akkor is igaz, ha nem természetes, hanem egész számokról szól. Ennek helyessége fenti megoldásunkból nyomban adódik, ha benne a

[0, 1]

intervallum helyett a

[- 1, 1]

intervallumról szólunk.
3. Nem igaz a feladat állítása, ha benne racionális számok végtelen sorozatáról vagy természetes számok véges (tetszőlegesen előírt hosszúságú) sorozatáról van szó. Az első módosítást az

1

\frac{1}{2}

\frac{1}{3}, ..., \frac{1}{n}, ...

sorozat példája cáfolja, a másodikat pedig a véges

\begin{matrix} n!, \frac{n!}{2}, \frac{n!}{3}, ..., \frac{n!}{n} \end{matrix}

sorozat, amelynek minden eleme természetes szám.