Kezdőlap


Feladat:	1965. évi Kürschák matematikaverseny 1. feladata	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Gács Péter , Laczkovich Miklós , Lovász László , Makai Endre , Pelikán József
Füzet:	1966/május, 194. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Egyenlőtlenségek, Természetes számok, Szorzat, hatványozás azonosságai, Kürschák József (korábban Eötvös Loránd)
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1966/május: 1965. évi Kürschák matematikaverseny 1. feladata

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Minthogy egyenlőtlenségünk mindkét oldalán egész szám áll, az egyenlőtlenség akkor és csak akkor teljesül, ha a baloldal legalább 1-gyel kisebb a jobboldalnál, ha tehát

\begin{matrix} a^{2} + b^{2} + c^{2} + 4 \leq a b + 3 b + 2 c . \end{matrix}

Ezt az egyenlőtlenséget

\begin{matrix} {(a - \frac{b}{2})}^{2} + 3 {(\frac{b}{2} - 1)}^{2} + {(c - 1)}^{2} \leq 0 \end{matrix}

alakba írva megállapíthatjuk, hogy csak akkor teljesülhet, ha benne minden négyzet alapja

0

, hiszen különben a baloldalon pozitív szám állana. Eszerint

\begin{matrix} a - \frac{b}{2} = 0, \frac{b}{2} - 1 = 0, c - 1 = 0, \end{matrix}

és az egyetlen megoldás

\begin{matrix} a = 1, b = 2, c = 1. \end{matrix}