A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. I. megoldás. Be kell bizonyítanunk, hogy a köbgyök alatti kifejezés nem nagyobb a bal oldal köbénél. Felhasználjuk a számtani és a mértani középre vonatkozó ismert egyenlőtlenséget, amely szerint két szám szorzata nem lehet a számtani közepük négyzeténél nagyobb. Ezt kétszer is alkalmazva
Elég most már csak azt igazolnunk, hogy Ez abból adódik, hogy a kétoldali kifejezések négyzetének különbsége
Megjegyzés. A feladat szövegében felesleges az a megszorítás, hogy , , , pozitív számok. Ezt megoldásunk sem használta fel. Igaz ugyan, hogy hivatkoztunk a számtani és mértani közép egyenlőtlenségére, és mértani középről csak pozitív értékek körében beszélhetünk, viszont pozitív értékekre való szorítkozás nélkül is igaz, hogy két szám szorzata nem lehet a számtani közepük négyzeténél nagyobb. Megoldásunk az eredetinél erősebb | | egyenlőtlenséget bizonyította be. A következő megoldások is ezt igazolják majd. Megoldásainkban többféle középérték szerepel. A pozitív , számok számtani (aritmetikai), mértani (geometriai), harmonikus és négyzetes (kvadratikus) közepét az
képletek adják meg. Ezek között sokféle egyenlőtlenség állapítható meg. Két számra vonatkozólag már felhasználtuk a egyenlőtlenséget. Négy számra vonatkozólag bebizonyítottuk, hogy . Két számra vonatkozólag közvetlenül ellenőrizhető a összefüggés, és ebből felhasználásával , és így is adódik. Bizonyítás nélkül említjük meg, mert nem lesz szükségünk rá, hogy az itt említett egyenlőtlenségek a szám közepeire is teljesülnek.
II. megoldás. Jelölje , , , az , , , számok megfelelő közepeit. Feladatunk állítása köbreemelés után alakban írható, s mi a többet mondó egyenlőtlenséget bizonyítjuk be. Jelölje , , az , számok, , , pedig a , számok megfelelő közepeit. Nyomban belátható, hogy ezekre | | Mivel , és hasonló érvényes bármely két szám közepeire,
Minthogy pedig , és a hasonló , egyenlőtlenségekből következik, a fenti egyenlőségből a bizonyítandó egyenlőtlenséghez jutunk.
III. megoldás. Felhasználjuk azt, hogy ha négy szám nem egyenlő, akkor van közöttük a számtani közepüknél nagyobb, és van kisebb is. Legyen például , ahol ismét az , , , számok számtani közepét jelöli. Legyen és . Ezekre
Ha tehát az , , , számok helyébe az , , , számokat írjuk, számtani közepük változatlanul marad, viszont is szerepel közöttük, illetőleg többször szerepel, mint ahányszor szerepelt, és a feladat egyenlőtlenségének jobb oldala | | miatt növekszik. Ha tehát , , , nem egyenlők, akkor megváltoztathatók úgy, hogy számtani közepük változatlanul maradjon, többször szerepeljen közöttük, mint ahányszor szerepelt, s hogy a feladatbeli köbgyök értéke növekedjék. Ezt az eljárást a szükség szerint megismételve mindegyik szám helyébe lép, s a köbgyök értéke állandóan növekszik. Ha pedig mindegyik szám -val egyenlő, akkor a köbgyök értéke is . Eszerint a köbgyök értéke eredetileg is -nál kisebb vagy esetleg vele egyenlő volt, s ez az, amit bizonyítani akartunk.
Megjegyzés. Ennek a megoldásnak a gondolatmenete változatlanul alkalmazható akkor is, ha nem négy számról és a belőlük képezhető három tényezős szorzatok összegéről, hanem a számról és az ezekből képezhető tényezős szorzatok összegéről van szó. Így azt kapjuk, hogy ez az összeg nem lehet nagyobb, mint . Kiemeljük ennek az eredménynek azt a speciális esetét, amikor . Ebben az esetben a vizsgált összeg . Így tehát a egyenlőtlenséghez jutunk, amely esetén egyenlőség formájában teljesül, esetén pedig a megoldásainkban bizonyított egyenlőtlenséggel azonos. Gondolatmenetünk még a esetben is alkalmazható, amikor csak egyetlen szorzatról van szó, s így az szám közepeire érvényes egyenlőtlenség bizonyításához jutunk. |