|
Feladat: |
1963. évi Kürschák matematikaverseny 3. feladata |
Korcsoport: 18- |
Nehézségi fok: nehéz |
Megoldó(k): |
Fazekas Patrik , Gerencsér László , Lukovics Edit , Máté Attila |
Füzet: |
1964/április,
150 - 153. oldal |
PDF | MathML |
Témakör(ök): |
Háromszögek nevezetes tételei, Súlyvonal, Körülírt kör, Geometriai egyenlőtlenségek, Fizikai jellegű feladatok, Háromszög-egyenlőtlenség alkalmazásai, Egyenlő szárú háromszögek geometriája, Magasságvonal, Számtani közép, Kvadratikus közép, Tetraéderek, Kürschák József (korábban Eötvös Loránd) |
Hivatkozás(ok): | Feladatok: 1964/április: 1963. évi Kürschák matematikaverseny 3. feladata |
|
A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. Ha az nem tompaszögű, akkor (a belsejében vagy a határán) tartalmazza a köréírt kör O középpontját. Ezért az súlypont által meghatározott , , háromszögek közül legalább az egyik szintén tartalmazza az pontot. Legyen az ilyen (4. ábra).
4. ábra Minthogy az tartalmazza az -et, és az egyenlőség csak akkor teljesülhet, ha és azonos. Eszerint az , súlyvonalakra és a körülírt kör sugarára vagyis Ha azonos -gyel, akkor nyilván . Ha azonban nem azonos -gyel, akkor az szakaszt merőlegesen felező egyenes belevág a háromszögbe, tehát a vele párhuzamos szakaszt elválasztja a csúcstól. Eszerint és ugyanabban az egyenes által határolt félsíkban van, s ezért a pont az egyenesre vonatkozólag szimmetrikusan elhelyezkedő , pontok közül -hoz van közelebb. A , és szakaszokra ezek szerint mindig teljesül, és egyenlőség csak akkor áll fenn, ha és azonos: Egyenlőtlenségeinket összeadva adódik, de itt az egyenlőség soha sem teljesülhet, mert egyszerre nem teljesülhet mind a két összeadott egyenlőtlenségben, hiszen nem lehet az egymástól különböző , pontok mindegyikével azonos.
Megjegyzések. 1. Nem hagyható el a feladatnak az a megszorítása, hogy a háromszög nem tompaszögű. Bármilyen csekély túllépést engednénk is meg, fölé, a feladat állítása már nem volna helyes. Bebizonyítjuk, hogy ez valóban így van. Induljunk ki tehát egy tetszőlegesen megadott szögből. Messe az szakasz felezőmerőlegese a szárra -ben emelt merőlegest az pontban (5. ábra). A száron úgy választjuk meg a pontot, hogy a távolságra teljesüljön. Az köré írt kör sugarára hiszen a két utolsó szakasz ugyanannak a szögnek párhuzamos szelője, és van a szög csúcsához közelebb.
5. ábra Az súlyvonalaira az , , háromszögek egyenlőtlenségei alapján | | Ezek szerint | |
2. Bebizonyítjuk, hogy akkor sem volna helyes a feladat állítása, ha benne helyett valamely -nél bármi csekéllyel is nagyobb szám állna. Egy alapú, magasságú egyenlőszárú háromszög (6. ábra) súlyvonalaira az -re vonatkozó egyenlőtlenség felhasználásával
A körülírt kör sugarára hiszen az magasságot a kör tartalmazza. Ezek szerint Ha egy tetszőleges, -nél nagyobb szám, rögzítése után megválasztható olyan kicsire, hogy teljesüljön. Az így adódó háromszögre a fentiek szerint
6. ábra 3. A feladat arról szólt, hogy a súlyvonalak összege a körülírt kör sugarának legalább hányszorosa. Bebizonyítjuk most, hogy legfeljebb -szöröse, és itt a háromszöget illetően semmiféle megszorítást sem teszünk. Szabályos háromszög esetében a vizsgált arány éppen . Meglepő talán a nem tompaszögű háromszögekre érvényes viszonylag szűk (4, 4,5) értékköz. Tekintsük a sík egy pontjának az csúcsaitól mért távolságait. Ezek számtani közepét , négyzetes közepüket pedig jelöli. Ismeretes, hogy . Bizonyításunk arra épül, hogy . Ha az , , pontokba egységnyi tömegeket helyezünk, akkor e tömegrendszer tehetetlenségi nyomatéka a síkot a pontban merőlegesen döfő egyenesre vonatkozólag. Az imént kimondott egyenlőtlenség következik tehát abból, hogy párhuzamos tengelyek közül a súlyponton áthaladó tengelyre vonatkozó tehetetlenségi nyomaték a legkisebb. Egyenlőtlenségünket fizikai ismeretekre való hivatkozás nélkül akarva bebizonyítani bevezetjük az vektorokat (lásd pl. Matematikai Versenytételek, II. rész, 26‐30. o. és 69. o.). Felhasználjuk azt, hogy Az egyenlőtlenségünkben szereplő értékekre
Ezzel a egyenlőtlenség bizonyítást nyert, de ebből eredeti állításunk is nyomban következik: | |
4. Megemlítjük, de nem részletezzük, hogy a tetraéder súlyvonalainak összege a körülírt gömb sugarának legfeljebb -szorosa, s hogy ez ugyanúgy bizonyítható, ahogyan a megfelelő síkbeli állítást éppen bebizonyítottuk. Ha feladatunk állításának térbeli megfelelőjét keressük, valamilyen megszorítást kell tennünk a tetraéderre vonatkozólag, annak megfelelően, hogy a feladat csak nem tompaszögű háromszögekről szólt. Azok a háromszögek nem tompaszögűek, amelyek tartalmazzák a köréjük írt kör középpontját. Érthető tehát, hogy azokról a tetraéderekről szólunk, amelyek tartalmazzák a köréjük írt gömb középpontját, azonban csak bizonyítás nélkül említjük meg, hogy az ilyen tetraéderek súlyvonalainak összege a körülírt gömb sugarának -szeresénél nagyobb, és itt helyébe nagyobb számot írva már helytelen állításhoz jutunk. |
|