A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. I. megoldás (Kóta Gábor dolgozata nyomán). Tegyük fel, hogy pl. és -né nem találkozott a betegágynál. Ekkor -né vagy elment, mielőtt férje megérkezett és ez esetben korábban távozott a betegágytól mint két sógornője, hiszen ők találkoztak a betegágynál az -né távozása után érkező -val, vagy pedig -né távozása után érkezett és ekkor későbben érkezett mint két sógornője, hiszen azoknak távozása előtt kellett a beteghez érkezniük. Csak úgy lehet tehát, hogy egy asszony nem találkozott a férjével, ha vagy előbb távozott, mint a két sógornője, vagy később érkezett náluk. Azonban három asszony közül legalább az egyik sem nem érkezett a másik kettő után, sem nem távozott azok távozása előtt, így legalább egynek találkoznia kellett a férjével.
II. megoldás. Indirekt úton bizonyítjuk a feladat állítását. Tegyük fel, hogy egyik házaspár sem találkozott a betegágynál. Ez esetben, ha pl. előbb érkezett -nénél, akkor el is kellett távoznia felesége érkezése előtt. Viszont találkozott -nével, tehát -né előbb érkezett mint -né. -nek felesége távozása után kellett érkeznie, csak így találkozhatott -néval anélkül, hogy feleségével találkozott volna. Ha a felesége után érkezett a betegágyhoz, akkor fenti meggondolásunkban férj és feleség szerepét mindenütt megcserélve szintén azt nyerjük, hogy férj és feleség a házaspárból fordított sorrendben kellett, hogy a betegágyhoz érkezzék, mint az házaspárból. Ugyanezt a meggondolást megismételve egyrészt az és házaspárra, másrészt a és házaspárra azt kapjuk, hogy és -né fordított sorrendben kellett hogy a betegágyhoz érkezzék, mint és -né, de ugyancsak fordított sorrendben, mint és -né. Ez azonban már lehetetlen, tehát legalább egy házaspárnak találkoznia kellett a betegágynál.
Megjegyzés. A most ismertetett meggondolás alkalmas egy általánosabb tétel bizonyítására is. Hogy ezt könnyebben megfogalmazhassuk, előbb átfogalmazzuk az eredeti feladatot. A három házaspár elhelyezkedhet egy kerek asztal körül pl. , -né, , -né, , -né sorrendben (-né másik szomszédja ). Ekkor azt mondhatjuk: a hattagú társaság minden tagja meglátogatott (pl. másnap) egy beteg ismerőst. Mindenki csak egyszer járt ezen a napon a betegágynál és mindenki találkozott ott mind a két előző napi asztalszomszédjával. Ez csak úgy történhetett, hogy valaki házastársával (azaz a vele szemben ülővel) is találkozott. Ez speciális esete a következő általánosabb tételnek: Egy nap házaspár beszélgetett egy asztal körül, ahol úgy helyezkedtek el, hogy mindenki éppen házastársával szemben ült. Elhatározták, hogy másnap mindegyikük meglátogatja egy közös ismerősüket, aki beteg. A látogatás során úgy adódott, hogy mindenki találkozott a betegágynál két előző napi asztalszomszédjával és ezen a napon mindenki csak egyszer járt a betegnél. Ekkor valamelyik házaspár találkozott a betegágynál. Tegyük fel az állítással ellentétben, hogy egyik házaspár sem találkozott, noha a többi feltételek teljesültek. Az asztalszomszédok legyenek sorra , , , , itt és , és , , és házastársak. Tegyük fel, hogy a betűzést úgy választottuk, hogy előbb érkezett a betegágyhoz, mint házastársa, (és feltevésünk szerint el is kellett távoznia érkezése előtt). Ekkor , aki találkozott gyel, előbb kellett, hogy érkezzék, mint . Így , aki találkozott -gyel, de feltevésünk szerint nem találkozott házastársával, -vel, csak távozása után érkezhetett. Hasonlóan -nak távozása után kellett érkeznie és így tovább. Így azonban az -edik lépésben azt kapjuk, hogy az -nel találkozó csak azután érkezhetnék a betegágyhoz, miután -nel találkozó házastársa, eltávozott, holott abból indultunk ki, hogy előbb érkezett mint . Nem lehet tehát, hogy egyik látogató se találkozzék a betegágynál a házastársával. |