|
Feladat: |
1959. évi Kürschák matematikaverseny 2. feladata |
Korcsoport: 18- |
Nehézségi fok: nehéz |
Megoldó(k): |
Arató Péter , Csanak György , Halász Gábor , Jeltai Árpád , Muszély György |
Füzet: |
1960/február,
46 - 47. oldal |
PDF | MathML |
Témakör(ök): |
Trigonometriai azonosságok, Trigonometrikus függvények, Paralelogrammák, Egyenlő szárú háromszögek geometriája, Húrnégyszögek, Thalesz-kör, Derékszögű háromszögek geometriája, Pitagorasz-tétel alkalmazásai, Beírt kör középpontja, Kürschák József (korábban Eötvös Loránd) |
Hivatkozás(ok): | Feladatok: 1960/február: 1959. évi Kürschák matematikaverseny 2. feladata |
|
A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. Igen egyszerű trigonometriai megoldás kínálkozik a feladatra és a versenyzők mind ilyen utat is választottak.
I. megoldás. Jelöljük a torony magasságát méterben mérve -szel, a látószögét , , -ről rendre , , -val, ekkor | | és feltétel szerint , tehát
Innen és mivel gyanánt csak pozitív érték jön számításba, tehát a torony magassága . Megjegyzés. Mint többen észrevették, megoldható a feladat ugyanezzel a gondolatmenettel akkor is, ha tetszés szerinti , , távolságokból mért , , látószögekről tudjuk azt, hogy összegük . Ekkor a torony magassága . Megoldható azonban a feladat lényegesen egyszerűbb összefüggésekre támaszkodva is.
II. megoldás. Sík talajon nem lényeges, hogy milyen irányból mérjük a torony látószögét az adott távolságokból, válasszuk tehát a , ill. távolságra levő , ill. pontokat a toronytól egymással ellentétes irányban, a látószöget pedig szemléltessük úgy, hogy a pontból az egyenesnek a torony csúcsával ellentétes oldalán mérünk fel -re merőlegesen a torony magasságával egyenlő távolságot. Ekkor , mert .
1. ábra A torony talppontja, csúcsa továbbá a és pontok meghatározta négyszög paralelogramma, mert két oldala egymással párhuzamos és egyenlő, tehát a szakaszt felezőpontjában metszi. Eszerint , s így , az háromszög egyenlő szárú. Megállapíthatjuk -nél levő szögének a nagyságát is abból, hogy az négyszög -nál és -nél levő (szemben fekvő) szögeinek összege , a feltétel szerint -ot ad; a négyszög tehát húrnégyszög, és a körülírt kör átmérője, mert a pontból -os szögben látszik. Így az szintén -os, az egyenlő szárú háromszög tehát derékszögű. Ebből adódik, hogy , így az derékszögű háromszög ugyancsak egyenlő szárú, tehát a torony magassága .
III. megoldás. Rajzoljuk meg a tornyot háromféleképpen. Két oldalról egyrészt az és látószögű egyenesekkel, másrészt és , harmadrészt és látószögű egyenesekkel (2. ábra). A keletkező három háromszögben az , , oldalakon levő szögek összege , így a , , -nál levő szögek összege . Mivel még , , , így a három háromszög egy háromszöggé tehető össze. Ennek oldalai , , kielégítik a összefüggést, és ismeretes, hogy ebből következik a háromszög derékszögű volta, (a Pythagorász-tétel megfordítható) derékszöggel az csúcsnál. Így , és ebből következik, hogy a torony magas.
2. ábra Megjegyzés. A II. megoldás lényegesen kihasználja a feladat speciális adatait, a III. azonban csak részben. Ha ugyanis megfigyeljük, hogy az összeillesztésnél a , , egybeesésével keletkező pont az háromszög beírt körének a középpontja, akkor területszámítás segítségével más távolságadatok mellett is meghatározható a torony magassága.
3. ábra |
|