A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. I. megoldás: Az első egész számot három csoportba osztjuk: A) ; B) ; C) . Minthogy számot választunk ki, ezeket mind nem választhatjuk egyetlen csoportból. Ha a számokat csak az és , vagy pedig csak a és csoportokból választjuk, akkor a kiválasztott számok legkisebbikének és legnagyobbikának különbsége -nél nagyobb, hiszen közöttük van a többi kiválasztott szám, viszont -nél kisebb, hiszen a csoportok legszélső elemeinek különbsége is csak . Ha a számokat az és csoportból választjuk, akkor az csoportból kiválasztott legnagyobb s a csoportból kiválasztott legkisebb számnak különbsége -nél nagyobb, hiszen e két csoport legközelebbi elemeinek különbsége is . Ugyanannak a két kiválasztott számnak a különbsége azonban -nél kisebb is, mert közöttük csak ki nem választott számok vannak, s valamennyi ki nem választottnak száma is csak . Foglalkozzunk végül avval az esettel, amikor mindhárom csoportból választjuk a számokat. Legyenek , , rendre az , , csoportba tartozó kiválasztott számok. Feltehetjük, hogy a és különbségeknek nem mindegyike , hiszen ellenkező esetben az , , számok valamelyike helyett egy ugyanabba a csoportba tartozó másik kiválasztott számot tekinthetnénk. Ez lehetséges, mert feltevés mellett , tehát valamelyik csoportból több számnak kell szerepelnie a kiválasztottak között. Nem kell foglalkoznunk avval az esettel sem, amidőn a és különbségeknek valamelyike -nél nagyobb, hiszen e különbségek -nél kisebbek, minthogy az és , valamint a és csoportok legtávolabbi elemeinek különbsége is csak . Így csak annak az esetnek vizsgálata marad hátra, amidőn a és különbségeknek egyike sem nagyobb -nél, de legalább az egyike kisebb. Ebben az esetben azonban , mint e különbségeknek összege, -nél kisebb, s másrészt eleve -nél nagyobb, hiszen a csoportnak mind az eleme és között van. Olyan utasítást adtunk tehát, amely minden esetben elvezet egy kívánt tulajdonságú számpárhoz.
II. megoldás: Két kiválasztott számot szomszédosnak mondunk, ha a közöttük lévő számoknak egyike sem szerepel a kiválasztottak között. Két szomszédos kiválasztott számnak különbsége nem lehet vagy még több, mert szomszédos kiválasztott számok között ki nem választott számok vannak, és csak ki nem választott szám van. Ha a kiválasztott számok közül két szomszédosnak különbsége -nél kisebb, de -nél nagyobb, akkor e két szám a feladat kívánalmát kielégíti. Így tehát csak azzal az esettel kell foglalkoznunk, amikor a kiválasztott számok közül bármely két szomszédosnak különbsége legfeljebb . Legyen a kiválasztott számok legkisebbike. Ha szerepel a kiválasztott számok között olyan, amelyik -nél nagyobb s -nél kisebb, akkor és ez a szám kielégíti a feladat kívánalmát. Ha viszont a mondott számoknak egyike sem szerepel a kiválasztottak között, akkor és szükségképpen szerepel közöttük, mert különben a mondott számokat közrefogó két szomszédos kiválasztott számnak különbsége feltevésünkkel ellentétben -nél nagyobb volna. Bizonyos, hogy van két ilyen közrefogó szomszédos szám, hiszen maga a mondott számoknál kisebb, s nagyobbnak is kell lennie a kiválasztott számok között, minthogy -tól kezdve -ig bezárólag összesen csak szám van. Ha viszont , és szerepel a kiválasztott számok között, akkor bármely negyedik szám e három valamelyikével együtt megfelel a feladat kívánalmának. Hiszen -nál kisebb szám nincs a kiválasztottak között, az -nál nagyobb és -nél kisebb számoknak -nel alkotott különbségük, az -nél nagyobb és -nél kisebb számoknak -val alkotott különbségük, az -nél nagyobb és -nél nem nagyobb számoknak pedig -nel alkotott különbségük -nél nagyobb s egyben -nél kisebb. Minthogy pedig esetben , található a felsorolt háromtól különböző negyedik kiválasztott szám. Így tehát minden esetben eljutottunk a feladat kívánalmát kielégítő számpárhoz.
III. megoldás: Ha a kiválasztott számok között nem szerepel, akkor mindegyik kiválasztott számot megnövelhetjük ugyanannyival úgy, hogy legyen a kapott számok legnagyobbika. Minthogy e növelés a számok különbségeit nem változtatja meg, elegendő avval az esettel foglalkoznunk, midőn szerepel a kiválasztott számok között. E feltevés mellett a következőképpen okoskodunk: Ha az , számok egyike szerepel a kiválasztottak között, úgy ennek és -nek különbsége -nél nagyobb, de -nél kisebb. Ha viszont a mondott számok egyike sem szerepel, akkor az | | számpárok elemei közül kell további darabot kiválasztanunk. E kiválasztás csak úgy lehetséges, hogy valamelyik számpárnak mindkét elemét kiválasztjuk, hiszen összesen csak számpár van. Így tehát van a kiválasztott számok között kettő, melyeknek különbsége , vagyis -nél kisebb s egyben -nél nagyobb, hiszen feltevés mellett .
IV. megoldás: Helyezzük el az első természetes számot egy kör kerületén növekvő rendben s egyenlő közökben. Az óralap szemlélteti ezt az elhelyezést az esetben. Két szám akkor elégíti ki a feladat kívánalmát, ha a kisebbiktől növekvő számok irányában haladó, s a nagyobbikhoz vezető körívnek hossza harmadkörnél nagyobb s a kör kétharmadánál kisebb. Ez a megkötés azonban egy körívre s az azt teljes körré kiegészítő körívre csak egyszerre teljesülhet, és ha két egymást teljes körré kiegészítő körívnek mindegyike nagyobb a harmadkörnél, akkor már eleve kisebbek a kör kétharmadánál. Így tehát két szám akkor elégíti ki a feladat kívánalmát, ha a két számot összekötő mindkét körív nagyobb a harmadkörnél. Meggondolásaink alapján a feladatnak a következő új alakot adhatjuk: Egy kör kerületén egyenlő közökkel pont helyezkedik el, s ezek közül kiválasztunk darabot. Bizonyítandó, hogy mindig van a kiválasztott pontok között kettő, melyeket két, a harmadkörnél nagyobb körív köt össze. Vizsgáljuk, hogyan lehet a pont közül egyeseket kiválasztani anélkül, hogy volna közöttük kettő, melyeket két, a harmadkörnél hosszabb körív köt össze. Ez a tilalom akként is szövegezhető, hogy a kiválasztott pontokkal szemben elhelyezkedő harmadkörívek belsejéből nem szabad pontot kiválasztanunk.
Nevezzük szabad körívnek az olyat, amelyet kiválasztott pontok határolnak, s amelyiknek belsejében nincs kiválasztott pont. A tilalom előbbi megfogalmazása szerint kell lennie legalább harmadkör-hosszúságú szabad körívnek. Viszont ugyancsak a tilalom szerint nem szabad harmadkörnél hosszabb s a kör kétharmadánál rövidebb szabad körívnek lennie, hiszen egy ilyennek végpontjai áthágják a tilalmat. Megengedett kiválasztásoknál tehát csak a következő két eset lehetséges: a szabad körívek maximuma vagy éppen harmadkörív, vagy pedig a kör két harmadát is eléri. Ha a legnagyobb szabad körív harmadkör, akkor csak kiválasztott pont szerepelhet (6. ábra). 6. ábra Ilyenkor ugyanis bizonyosan van egy szabad harmadkörív. Ennek végpontjai, mint kiválasztott pontok, a kiegészítő kétharmadív belső pontjainak kiválasztását is tiltják, egyedül e kétharmadív középpontjának kiválasztását nem. Ennek a középpontnak kell is szerepelnie a kiválasztott pontok között, mert különben nem harmadkör volna a szabad körívek legnagyobbika. Ha viszont a legnagyobb szabad körív a körnek kétharmada, vagy még nagyobb, akkor a kiválasztott pontok egy harmadkörön helyezkednek el, ennek végpontjait is beleértve. Minthogy egy harmadköríven végpontjaival együtt pont van, ilyenkor legfeljebb csak kiválasztott pont szerepelhet. Akár mind e pontokat kiválaszthatjuk, a tilalmat akkor sem hágjuk át. Mivel nagyobb -nél és feltevés mellett -nál is, azért pontot nem lehet a tilalom áthágása nélkül kiválasztani.
Megjegyzés: Könnyű előző megoldásainkat is átfogalmazni körön elhelyezkedő számokra. Ezáltal azoknak tartalma is szemléletesebbé válik. Ezt azonban az olvasóra hagyjuk. Megoldásunk a feladat állításán túlmenően a következő eredményhez is elvezet: Minden megengedett kiválasztásnál: 1) vagy három , , alakú szám szerepel, 2) vagy egymást követő szám szerepel, 3) vagy együttesen olyan szám szerepel, amelyeknek egyik csoportja -hez csatlakozó s egymást követő, másik csoportja -hez csatlakozó s egymást követő számokat tartalmaz, 4) vagy pedig csak egyesek szerepelnek az előző két eset valamelyikében megadott számok közül.
V. megoldás: A feladatnak esetben a következő tréfás fogalmazást adhatjuk: Egy könyvtárt déli -kor nyitnak és délután órakor becsuknak. A könyvtárba csak pontosan kerek percidőkkor lehet belépni: első ízben pontosan -kor, utóljára óra perckor. Egyszerre csak egy ember léphet a könyvtárba. Aki a könyvtárba lép, belépése után pontosan egy órával elalszik s pontosan egy órát alszik, hacsak a könyvtár zárása ebben meg nem akadályozza. Senkit alvás közben a könyvtárba lépéssel zavarni nem szabad. Bizonyítandó, hogy ilyen különös előírások mellett egy napon nem járhat ember a könyvtárban. Felesleges volna részletezni, hogy ez valóban a feladat átírása. Ha a könyvtár kapusa az első látogató érkezésekor a könyvtár óráját déli -re állítja vissza, akkor nyilván csak azt teszi lehetővé, hogy esetleg még többen látogathassák aznap a könyvtárt. Feltehetjük tehát, hogy az első látogató pontosan -kor érkezik. A következőkben három esetet különböztetünk meg. Először avval az esettel foglalkozunk, hogy pontosan órakor és pontosan órakor is érkezik egy-egy látogató. Ekkor bizonyos, hogy többen nem is járnak a könyvtárban. Hiszen és között nem érkezhetik senki sem, mert az -kor biztosan aludna, s így álmát megzavarnák. Viszont és , valamint és között azért nem jöhet be senki sem, mert akkor alszik a -kor érkező, ill. az -kor érkező látogató. Ebben az esetben tehát látogató van. Másodszor feltesszük, hogy pontosan órakor érkezik látogató, de -kor nem. Ekkor bizonyos, hogy óra után senki sem érkezik. Ugyanis és között a -kor érkező, viszont és között az -kor érkező látogató alszik. Ebben az esetben tehát minden látogató -től kezdve óráig bezárólag érkezik, s így legfeljebb látogató van. Végül harmadszor feltesszük hogy pontosan órakor nem érkezik látogató. Szemeljük ki ekkor azt a látogatót, aki utoljára érkezett óra előtt (lehet, hogy az első látogatót kell így kiszemelnünk). A kiszemelt látogató érkezésétől számított kétórás időközön belül újabb látogató nem érkezhet, hiszen ez csak elalvása előtt volna lehetséges, viszont sem érkezésétől óráig, sem órakor nem érkezik senki sem, és órától a kiszemelt látogató elalvásáig terjedő időben (ha ugyan nem az első látogatót magát szemeltük ki), már alszik az első látogató. Ezek szerint a mondott két órás időközön belül belépési lehetőség kihasználatlanul kell, hogy maradjon, a látogatók a megengedett lehetőségből csak a többit használhatták ki. Ebben az esetben tehát ugyancsak legfeljebb látogató van. Egybevetve megállapítjuk, hogy mindenképpen csak legfeljebb ember járhat egy napon a könyvtárban. Nyilván helyes marad okoskodásunk akkor is, ha az órát nem , hanem percre osztjuk fel. Egyedül az lényeges, hogy a helyébe lépő ne legyen -nál kisebb, vagyis hogy az feltétel teljesüljön. |