A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. A feladat megoldása tulajdonképpen nem kíván különösebb ötleteket, csak kitartóan végig kell próbálni az összes lehetőségeket. Hogy rövidebben fejezhessük ki magunkat, néhány rövid jelölést fogunk használni. Amit az együtthatókról tudunk, egy keretben fogjuk feltüntetni:
Ha egy együtthatóról azt tudjuk, hogy páros egészszám, akkor a helyébe egy -est írunk, ha azt tudjuk, hogy páratlan egészszám, akkor -est; ha pedig az derül ki, hogy két együttható összege páros egészszám, akkor ezek helyét egy jellel kötjük össze. Az üresen hagyott helyek azt jelentik, hogy a megfelelő együtthatókról még nem derült ki semmi. -vel azt jelöljük, hogy helyébe -t, helyébe -t helyettesítünk.
I. megoldás: . helyettesítéssel, azt kapjuk, hogy és közül valamelyik páros egészszám. Feltehetjük, hogy ez:  . Helyettesítsünk -t. Ha páros, is páros, ha nem akkor páros:
. helyettesítésnél az első esetben biztos páros az első kifejezés, a másodikban mivel nem lehet páros (akkor is az volna), tehát kell, hogy páros legyen. Ez csak úgy lehet, ha vagy is is páros egészszám, vagy mindkettő páratlan:
. . Az első esetben, ha páros is az, ha nem akkor páros. A másodikban ha páros is az, ha nem akkor páros, de akkor páros egészszám kell legyen. A harmadikban ha páros, akkor -nek páros egésznek kell lennie. Ha nem, akkor páros, de akkor páratlan egészszám:
Az . és . esetben bármely egész -ra az egyik kifejezés értéke páros lesz. Ezeket az eseteket nem is vizsgáljuk tovább. . Legyen . .-ben nem lehet páros, mert akkor és is páros lenne. Így páros, tehát vagy mindkettő páros egészszám, vagy mindkettő páratlan. Az első lehetőség csak a két kifejezés sorrendjében különbözik a . esettől, így nem tárgyaljuk külön. .-ban és .-ben az első, .-ban a második kifejezés biztosan páros:
. Legyen .-ben nem lehet páros, mert feltettük (.-nél), hogy nem páros, tehát kell, hogy legyen páros. páros, így is páros. .-ben hasonlóan kell, hogy legyen páros s így páros egészszám, amivel viszont lényegében a már elintézett esetre jutunk. .-ban sem lehet páros, így az, amiből következik, hogy páros egésszám. .-ben páratlan egészszám, tehát biztosan páros, tehát is páros. -ről viszont .-ben feltettük, hogy nem páros (t. i. azzal, hogy nem páros).
A bizonyítandó állítást ezzel már meg is kaptuk, hisz itt minden esetben a második kifejezés együtthatói egészszámok. A további helyettesítések csak a táblázatok teljes kitöltéséért történnek: . Legyen . .-ben biztos páros, így nem tudunk meg újabbat. .-ben az első kifejezésnek kell párosnak lennie, tehát -nek, s így -nek is. tehát egész. Új eredményt csak akkor kapunk, ha páratlan. .-ban szintén az első kifejezés s így külön is páros, viszont nem az, így és vele együtt is páratlan egészszám:
. Az első esetben megismerésére helyettesítsünk -t. páratlan, így , tehát is páros, tehát egészszám. Ha páros, újat nem kapunk, tehát újabb lehetőség csak az, ha páratlan.
Így a következő öt eset lehetséges:
Az első kettőben csak a két elsőfokú kifejezés sorrendje, az utolsó kettőben pedig csak és szerepe van felcserélve. Így ezek nem lényegesen különböző esetek. Az első két esetben minden egész , párra ugyanaz a kifejezés páros. A harmadikban, ha is is páros, vagy mindkettő páratlan, akkor az első, ha egyik páros, másik páratlan, akkor a második kifejezés lesz páros. A negyedik esetben páros -re, az ötödikben páros -ra az első kifejezés lesz páros, illetőleg párosságától függetlenül; páratlan -re ill. -ra viszont, a második. Ez a megoldás nehézségekbe nem ütközik, de fáradságos. Ilyenkor igyekszünk a próbálgatásokat lehetőleg ügyesen elrendezni, hogy kevés esetet szétválasztva gyorsan és áttekinthető módon juthassunk e] a kívánt eredményhez.
II. megoldás: Tekintsük az , és helyettesítéseket. A három helyettesítés közül legalább valamelyik kettőre ugyanannak a kifejezésnek kell páros egészszámot adnia, mert összesen két kifejezésünk van. Bármelyik két helyettesítésre is lesz e kifejezés páros, biztos, hogy benne és egészszámok. Ugyanezzel az okoskodással adódik a , , helyettesítések segítségével, hogy valamelyik kifejezésben és egészszám. Ha mindkétszer ugyanarról a kifejezésről van szó, akkor is is is egészszám. Ha és az egyik kifejezésben bizonyul egésznek, és viszont a másikban, akkor behelyettesítésével látjuk, hogy valamelyik kifejezésben is egész. Mivel két együtthatóról már tudjuk, hogy külön-külön egészszám, így következik, hogy a harmadiknak külön is egésznek kell lennie, így minden esetben valamelyik kifejezésben is is is, egészszám.
III. megoldás: Tekintsünk a számsíkon pontot: a , , és pontokat. Ha helyébe ezt az öt értéket helyettesítjük, valamelyik kifejezés mindegyik esetben páros egész értéket ad, így bizonyos, hogy az öt helyettesítés közül háromra ugyanaz a kifejezés lesz páros. Jelöljük együtthatóit index nélkül , , -vel. Legyen a három helyettesítés , és . Ez esetben , , , ahol , és egészszámok. Szorozzuk meg az első egyenletet -mal, a másodikat -gyel, a harmadikat -vel és adjuk őket össze. Ekkor és szorzója éppen lesz. A jobboldalon pedig újra páros szám keletkezik. Jelöljük -vel: | | Ha a számpárokat pontok koordinátáinak fogjuk fel, akkor a szorzója éppen a három pont által alkotott háromszög kétszeres területe, ezt -vel jelölve, egyenletünk ilyen alakú lesz: . A fenti egyenleteket sorra -mal, -gyel, -vel szorozva és összeadva hasonlóan nyerjük, hogy , ahol egészszám. Nézzük meg, most az öt számpárt ábrázoló pontokat. Ezek közül minden módon kiválasztva hármat vagy , vagy területű háromszöget kapunk, vagy egy egyenesbe esik a három pont. Tehát értéke , vagy . Első két esetben és s így velük együtt is egészszámok. Ha a három pont egy egyenesre esik és a másik két pontnak megfelelő két helyettesítésre a másik kifejezés ad páros értéket, akkor végezzük el még az helyettesítést. Ha erre ismét az első kifejezés lesz páros, akkor a most hozzávett pont és a egy egyenesen sorakozó pont közül a két szélső alkot egy területű háromszöget, ha pedig itt a második kifejezés értéke páros, akkor ez a pont és az ötből kimaradó két pont alkot egy ugyanilyen háromszöget. Ezek valamelyikével ismételhetjük tehát meg a fenti gondolatmenetet. Valamelyik kifejezésnek tehát mindegyik esetben mindhárom együtthatója egész. |