A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. I. megoldás: [Alakítsuk át a vizsgálandó kifejezést] | | így
De , mert ; ; [mert ] és így az egész összeg pozitív.
| | II. megoldás: Kevesebb számolással is célhoz érünk, ha az egyes tagokat grafikusan ábrázoljuk. (Jelöljük a szöget -szel és számítsuk ívmértékben.) görbéjét úgy kapjuk a -éből, hogy azt a kezdőpontra, mint hasonlósági középpontra nézve felére kicsinyítjük, vagyis a kezdőpontból kiinduló húrok középpontjaiból tevődik össze a görbe első íve; a második ív pedig ugyanolyan, mint az előző, de a tengely alatt.
Ha visszafordítjuk a tengely fölé a negatív ívet, akkor ismét a felére kicsinyített képét kapjuk, most a (0,) intervallum végpontjából mint hasonlósági középpontból lekicsinyítve. Ez a visszafordított ív is görbéje alatt marad, tehát Ha ehhez hozzávesszük -et, az csak szakaszon kisebbíti az összeget. Ezen a szakaszon .
A kivonandók abszolút értéke viszont nem lehet több, mint 1/2 ill. 1/3 és ezek összege , mert az előbbi négyzete 25/36, az utóbbié 3/4=27/36. Így | | III. Megoldás: Még itt is felhasználtuk a függvény értékét néhány helyen, pedig elég a görbéjének néhány tisztán geometriai tulajdonságát felhasználni. Azt, hogy a görbe felülről nézve domború, más szóval, hogy bárhol húzva egy húrt, a görbe fölötte fekszik. Azt, hogy a szakasz középmerőlegesére szimmetrikus a görbe és hogy a szakasz végpontjaiban eléri a tengelyt.
Legyen egy tetszőleges ilyen görbénk a tengely egy szakaszán. Ez annyiban hasonlít a -ére, hogy a szakasz középpontjáig emelkedik, onnan viszont süllyed. (Részben futhat párhuzamosan is a tengellyel.) Kicsinyítsük a felére és a harmadára és folytassuk úgy a kapott görbéket, hogy váltakozva a tengely alatt és fölött illesztünk hozzá az elsővel egybevágó íveket. Megmutatjuk, hogy az így kapott három görbe ordinátáinak összege az egész szakaszon pozitív. Hogy könnyebben tudjunk beszélni, nevezzük a három görbéhez tartozó függvényt , , -nek. A domborúság miatt a kicsinyített ívek itt is az eredeti alatt feküsznek, s így könnyen látható, hogy | |
Csak azon a szakaszon kell alaposabban megnéznünk függvényeinket, ahol is, is negatív, tehát a szakaszon (a középponttól a szakasz -áig). Ezen a szakaszon a kisebbítendő legkisebb értéke . legnagyobb levonandó értéke , legnagyobb levonandó értéke pedig . feleakkora, mint értéke a szakasz harmadrészén, tehát ugyancsak feleakkora mint értéke a szakasz kétharmadán, azaz . Kössük össze -t és -t és jelöljük és metszéspontját -val. Mivel , így egyszersmind . Mivel a egyharmada, így egyben fele -nak. A két levonandó tehát nem lehet több, mint fele és fele, s így együtt kevesebb, mint , ami a kisebbítendő legkisebb értéke. Ezzel bebizonyítottuk állításunkat.
Megemlítjük, hogy a feladat speciális esete egy általánosabb tételnek. Fejér Lipót vette észre, hogy | | bármely pozitív egész -re. Akik egyetemen fognak matematikát tanulni, be fogják ezt is bizonyítani és fontos alkalmazását is fogják látni. A versenyzők megoldásait lehetőleg szószerint közöljük. A szerkesztőség kiegészítéseit azögletes zárójellel választjuk el az eredeti szövegtől. |
|