A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. A továbbiakban jelöli osztási maradékát -nal osztva. A megoldáshoz két ismert lemmát használunk fel:
* | a)Tetszőleges , pozitív egészekre és prímszámra akkor és csak akkor osztható -vel, ha valamilyen pozitív egész -ra . |
* | b)Ha prím és , akkor . | Mivel az állítás ekvivalens azzal, hogy , elég az esetre megoldani a feladatot. Az a) lemma szerint, ha egy prímszám osztója -nak, akkor valamilyen ra . Ha , akkor esetén is teljesül a feltétel, mert | | Ha pedig , akkor csak lehetséges. A feladat állításához ezért elég a következőt igazolni: A számnak létezik olyan prímosztója, amelyre . Legyen . Ha , akkor az állítás triviális. Feltehetjük tehát, hogy . Legyenek az -nál nem nagyobb prímek , , , ezek kitevője -ban , , . A b) lemma szerint , és ha -nak nincs más prímosztója, akkor | | (1) | Másrészt | | következésképp . Mivel az -nál nem nagyobb prímszámok száma, ez azt jelenti, hogy , vagy . Ha , akkor , és (1) alapján , vagyis ; ha , akkor , (1) alapján , azaz ; ha pedig , akkor , , azaz . Mindhárom eset ellentmond az feltételnek.
Megjegyzések. 1. A két idézett lemma az úgynevezett Legendre-formula segítségével bizonyítható be. Eszerint a prímszám kitevője prímtényezős felbontásában ennek következménye, hogy az binomiális együtthatóban kitevője | | Ebben az összegben minden egyes tag 0 vagy 1; a -edik tag akkor és csak akkor 1, ha . Ebből az a) és a b) állitás is következik. 2. Több versenyző hivatkozott a Sylvester‐Schur-tételre, ami azt állítja, hogy esetén -nak létezik -nál nagyobb prímosztója. (A tétel, bizonyítás nélkül, megtalálható pl. Erdős‐Surányi: Válogatott fejezetek a számelméletből c. könyvének 195. oldalán.) A megoldás módszerével a Sylvester‐Schur-tételnek egy valamivel gyengébb változata könnyen igazolható: Létezik olyan pozitív konstans, amelyre tetszőleges esetén -nak van -nál nagyobb prímosztója.
|
|