Kezdőlap


Feladat:	N.131	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Bérczi Gergely , Braun Gábor , Frenkel Péter , Lippner Gábor , Mátrai Tamás , Pap Gyula
Füzet:	1997/november, 486 - 487. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Differenciálási szabályok, Függvényvizsgálat differenciálszámítással, Exponenciális függvények, Nehéz feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1997/február: N.131

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Az egyenlőtlenséget átrendezve

\begin{matrix} \frac{sin K x}{K x} e^{\frac{1}{6} {(K x)}^{2}} < \frac{sin x}{x} e^{\frac{1}{6} x^{2}}; \end{matrix}

az állítás tehát az, hogy az

f (x) = \frac{sin x}{x} e^{\frac{1}{6} x^{2}}

függvény szigorúan monoton fogy a

(0, π)

intervallumban. Ez következik abból, hogy a deriváltja negatív, azaz

\begin{matrix} f' (x) = \frac{1}{3 x^{2}} e^{\frac{1}{6} x^{2}} (3 x cos x - 3 sin x + x^{2} sin x) < 0. \end{matrix}

Ehhez azt kell igazolnunk, hogy a

g (x) = 3 x cos x - 3 sin x + x^{2} sin x

függvény negatív. Mivel

g (0) = 0

, ez következik abból, hogy a

g

függvény deriváltja negatív:

\begin{matrix} g' (x) = x^{2} cos x - x sin x = x cos x (x - tg x) < 0. \end{matrix}

(1)

(A második kifejezés

x = \frac{π}{2}

esetén nem értelmes.) A

0 < x < \frac{π}{2}

esetben (1) következik az

x < tg x

egyenlőtlenségből,

\frac{π}{2} \leq x < π

esetén pedig az első alakban mindkét tag negatív.