Feladat: N.130 Korcsoport: 18- Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):  Bérczi Gergely ,  Braun Gábor ,  Frenkel Péter ,  Gerbicz Róbert ,  Gyenes Zoltán ,  Kiss Tamás ,  Kun Gábor ,  Lippner Gábor ,  Lukács László ,  Mátrai Tamás ,  Nagy István ,  Pap Gyula ,  Terék Zsolt ,  Tóth Péter 
Füzet: 1997/október, 420. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Binomiális együtthatók, Komplex számok trigonometrikus alakja, Egységgyökök, Nehéz feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1997/február: N.130

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Legyenek a harmadik, illetve az ötödik komplex egységgyökök:
αk=cos2kπ3+isin2kπ3 (k=0,1,2), illetve βk=cos2kπ5+isin2kπ5 (k=0,1,2,3,4). A binomiális tételt felhasználva könnyen ellenőrizhető, hogy

an=13((1+α0)n+(1+α1)n+(1+α2)n)(1)
és
bn=15((1+β0)n+(1+β1)n+(1+β2)n+(1+β3)n+(1+β4)n).(2)

Az (1) azonosság jobb oldalán az első tag éppen 2n3, a másik két tag pedig egységnyi abszolút értékű. Ebből az állítás első fele következik.
A (2) jobb oldalán az első tag 2n5, |1+β2|=|1+β3|<1 miatt a harmadik és negyedik tag 0-hoz tart, következésképp korlátos. Az is könnyen ellenőrizhető, hogy
1+β1=2cosπ5(cosπ5+isinπ5)
és
1+β4=2cosπ5(cosπ5-isinπ5);
ebből következik, hogy
(1+β1)n+(1+β4)n=2(2cosπ5)ncosnπ5.

Mivel cosπ5>12, és cosnπ5 abszolút értéke mindig legalább sinπ10, ez a sorozat nem korlátos, sőt az abszolút értéke végtelenhez tart. A bn-2n5 abszolút értéke ezért végtelenhez tart.