A lehetséges összegek ($0$, $\pm 1$, $\pm 2$, $\text{...}$, $\pm n$) száma $2n+1$. Ezek közül $2n$ szerepel a sor- és oszlopösszegek között, tehát pontosan egy nem szerepel. Legyen a hiányzó összeg $h$. Az egyszerűség kedvéért szükség esetén soroljuk a 0-t a pozitív, illetve a negatív összegek közé úgy, hogy a táblázatban fellépő pozitív és negatív összegek száma egyaránt $n$ legyen.
Legyen a pozitív oszlopösszegek száma $k$; ekkor a negatív oszlopösszegek száma $n-k$, a negatív sorösszegek száma $k$, és a pozitív oszlopösszegek száma $n-k$.
Definiáljuk az $S$ összeget a következőképpen: adjuk össze a táblázat pozitív összegű oszlopaiban álló elemeket, adjuk hozzá a pozitív összegű sorok elemeit, vonjuk ki a negatív összegű oszlopok elemeit, majd a negatív összegű sorok elemeit. Ezzel valójában a sor- és oszlopösszegek abszolútértékét adtuk össze, tehát $S=2\left(1+2+\text{...}+n\right)-|h|$.
Az $S$ definíciójában kétszer számoltuk azokat az elemeket, amelyek pozitív összegű sorban és oszlopban szerepelnek (ez összesen $k\left(n-k\right)$ elem), kétszer vontuk ki azokat, amelyek negatív összegű sorokban és oszlopokban szerepelnek (szintén $k\left(n-k\right)$ elem), a többi elemet egyszer hozzáadtuk, egyszer kivontuk. Emiatt $S\le 4k\left(n-k\right)$, és