|
Feladat: |
N.124 |
Korcsoport: 18- |
Nehézségi fok: nehéz |
Megoldó(k): |
Bérczi Gergely , Braun Gábor , Frenkel Péter , Gyenes Zoltán , Kun Gábor , Lippner Gábor , Lukács László , Mátrai Tamás , Naszvadi Péter , Pap Gyula , Szabó Jácint , Terék Zsolt , Visontai Mirkó |
Füzet: |
1997/május,
292 - 293. oldal |
PDF | MathML |
Témakör(ök): |
Függvények, Binomiális együtthatók, Analízis, Határozott integrál, Nehéz feladat |
Hivatkozás(ok): | Feladatok: 1997/január: N.124 |
|
A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. I. megoldás. Definiáljuk a következő függvénysorozatot: | | (1) | Be fogjuk bizonyítani, hogy | | (1) | Ebből az állítás következik, mert esetén a bal oldalon (1) bal és jobb oldalának különbsége, a jobb oldalon pedig egy pozitív szám áll. Ha , akkor állításunk triviális. Másrészt (2) öröklődik -ről -re: | | illetve | |
Megjegyzés. Tetszőleges függvényre és páronként különböző , , , pontokra az | | kifejezést az függvénynek az adott pontokhoz tartozó osztott differenciájának nevezik, és -fel jelölik. Ismeretes, hogy ha -szer differenciálható, akkor létezik olyan szám, amely az , , számok legkisebbike és legnagyobbika közé esik, továbbá . (Ennek a tételnek speciális esete a Lagrange-középértéktétel.) Ha és , akkor a tétel szerint létezik olyan szám, amelyre (1) bal és jobb oldalának különbsége éppen .
II. megoldás. Mivel tetszőleges esetén , (1) bal és jobb oldalának különbsége: | |
Terék Zsolt (Fazekas M. Főv. Gyak. Gimn., III. o.t.) |
Megjegyzés. A függvény neve Euler-féle béta-függvény. Ez az integrál tetszőleges pozitív , -ra létezik. Ha és pozitív egészek, akkor . Ez lehetőséget ad többek között a binomiális együtthatók definíciójának olyan kiterjesztésére, amikor az argumentumok nem egészek, például definiálható akár is.
|
|