Kezdőlap


Feladat:	Gy.3133	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Gyenes Zoltán , Léka Zoltán
Füzet:	1997/december, 537 - 538. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Játékelmélet, játékok, Háromszögek hasonlósága, Középvonal, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1997/április: Gy.3133

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Megmutatjuk, hogy ha mindketten jól játszanak, akkor $T_{X Y Z} = \frac{1}{4} T_{A B C}$ lesz. Ehhez elegendő a következő két állítást belátnunk:
(i) Tibi tud úgy játszani, hogy $T_{X Y Z} \leq \frac{1}{4} T_{A B C}$ legyen;
(ii) Gizi tud úgy játszani, hogy $T_{X Y Z} \geq \frac{1}{4} T_{A B C}$ legyen.

Tibi stratégiája a következő: ha Gizi az

X

pontot kiválasztotta az

A B

oldalon, akkor Tibi úgy veszi fel

Y

-t a

B C

oldalon, hogy

X Y

párhuzamos legyen

A C

-vel (ezt nyilván mindig meg tudja tenni). Ha az

A B C

háromszög

B

-hez tartozó magasságát

m_{b}

-vel, az

X B Y

háromszög

B

-hez tartozó magasságát

m_{b}'

-vel, az

\frac{X B}{A B}

arányt pedig

t

-vel jelöljük, akkor akárhol is választja Gizi a

Z

pontot, az

X Y Z

háromszög

Z

-hez tartozó magassága mindig

m_{z} = m_{b} - m_{b}'

lesz (1. ábra). De az

A B C

és az

X B Y

háromszögek hasonlósága miatt

m_{b}' = t \cdot m_{b}

és

X Y = t \cdot A C

. Ezért

\begin{matrix} T_{X Y Z} = \frac{1}{2} X Y \cdot m_{z} = \frac{1}{2} (t \cdot A C) (m_{b} - t \cdot m_{b}) = t (1 - t) \cdot \frac{1}{2} A C \cdot m_{b} = t (1 - t) \cdot T_{A B C} . \end{matrix}

Viszont

t (1 - t) = \frac{1}{4} - {(t - \frac{1}{2})}^{2} \leq \frac{1}{4}

, amivel az (i) állítást igazoltuk.

Gizi stratégiája a következő:

X

-et az

A B

Z

-t pedig az

A C

oldal felezőpontjának választja. Ekkor akárhol is választja Tibi az

Y

pontot (2. ábra), az

X Y Z

háromszög

Y

-hoz tartozó magassága éppen fele lesz az

A B C

háromszög

A

-hoz tartozó magasságának, mert

X Z

középvonal az

A B C

háromszögben; és ugyanezért

X Z = \frac{1}{2} B C

is teljesül. Vagyis ekkor

T_{X Y Z} = \frac{1}{4} T_{A B C}

. Ezzel az (ii) állítást is beláttuk.

Gyenes Zoltán (Budapest, ELTE Apáczai Csere J. Gyak. Gimn., I. o.t.)