A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. Jelöljük a háromszög csúcsait , , -vel; a csúcsokkal szemközti oldalakat rendre , , -vel; az oldalakra felmért szakaszok végpontjait ‐ az ábrán látható módon ‐ , , , , , -vel; az háromszög beírt körének középpontját -val; az -ból a beírt körhöz húzott érintőszakasz hosszát pedig -szel. Megmutatjuk, hogy az , , , , , pontok egy középpontú körön vannak.
Az , és háromszögek egyenlő szárúak, ezért az alapjaik felezőmerőlegesei egybeesnek száraik szögfelezőivel. E szögfelezők viszont a csúcsszögek tulajdonságai miatt megegyeznek az háromszög belső szögfelezőivel, s így átmennek -n. Tudjuk, hogy egy körhöz egy külső pontból húzott két érintőszakasz egyenlő, ezért a , illetve pontból a beírt körhöz húzott érintőszakaszok hossza , illetve , így , amiből kapjuk, hogy . Tehát az -ből, -ből, illetve -ből a beírt körhöz húzott érintőszakaszok hossza rendre . Ezért az , , pontok -tól való távolsága , ahol az háromszög beírt körének sugara. Mivel már láttuk, hogy , és , azért ebből következik, hogy az , , , , és pontok egy ‐ középpontú ‐ körön vannak.
Juhász Ágnes (Miskolc, Avasi Gimn., I. o.t.) dolgozata alapján |
|