Kezdőlap


Feladat:	Gy.3123	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Baharev Ali , Bíró Zsuzsanna , Bujdosó Attila , Gelencsér Gábor , Gyenes Zoltán , Horváth Gábor , Izsák Rudolf , Kósa Botond , Lengyel Tímea , Mecz Balázs , Micskei Zoltán , Móczó Péter , Naszódi Gergely , Pataki Péter , Terpai Tamás , Vaik István
Füzet:	1997/december, 532 - 533. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Háromszögek nevezetes tételei, Körülírt kör, Tengelyes tükrözés, Háromszögek szerkesztése, Középvonal, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1997/március: Gy.3123

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Tekintsük a feladatot megoldottnak. Legyenek a háromszög csúcsai rendre $A$ , $B$ és $C$ , oldalainak felezőpontjai $A_{1}$ , $B_{1}$ és $C_{1}$ , köré írható körének középpontja $O$ , $O$ -nak az oldalegyenesekre vonatkozó tükörképei pedig az ábra szerint $A'$ , $B'$ és $C'$ .
Megmutatjuk, hogy az $A' B' C'$ háromszög magasságpontja $O$ . Egy háromszög köré írható körének középpontja az oldalfelező merőlegesek metszéspontja, ezért $O A_{1} ⊥ B C$ , $O B_{1} ⊥ C A$ és $O C_{1} ⊥ A B$ . A tükrözés tulajdonságai miatt az $O A'$ , $O B'$ és $O C'$ szakaszok felezőpontjai rendre $A_{1}$ , $B_{1}$ és $C_{1}$ , ezért az $O B' C'$ , $O C' A'$ és $O A' B'$ háromszögek $B' C'$ , $C' A'$ és $A' B'$ oldalaihoz tartozó középvonalai egybeesnek az $A B C$ háromszög középvonalaival. Mivel egy háromszög középvonala párhuzamos a megfelelő oldallal, azért ebből következik, hogy $B' C' ‖ B C$ , $C' A' ‖ C A$ és $A' B' ‖ A B$ . Az eddigieket összefoglalva mondhatjuk, hogy $O A' ⊥ B' C'$ , $O B' ⊥ C' A'$ és $O C' ⊥ A' B'$ , vagyis $O$ az $A' B' C'$ háromszög magasságpontja.

Ezek alapján a szerkesztés menete: Megszerkesztjük az

A' B' C'

háromszög

O

magasságpontját, ami egyúttal az

A B C

háromszög köré írható körének középpontja is, majd megszerkesztjük az

O A'

O B'

és

O C'

szakaszok felező merőlegeseit, amelyek megegyeznek az

A B C

háromszög oldalaegyeneseivel. (Ha

O

egybeesik az

A'

B'

C'

pontok valamelyikével, akkor a szakaszfelező merőleges helyett

O

-n át párhuzamost szerkesztünk az

A' B' C'

háromszög másik két csúcsát

O

-val összekötő szakaszok felezőpontjait összekötő egyenessel.)
Az így szerkesztett

A B C

háromszög köré írható körének középpontja nyilván

O

lesz,

O

-nak az oldalegyenesre vonatkozó tükörképei pedig

A'

B'

és

C'

. A feladatnak egy megoldása van, ha az

A'

B'

és

C'

pontok háromszöget alkotnak; nincs megoldása, ha e pontok egy egyenesre esnek.