Kezdőlap


Feladat:	Gy.3120	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: könnyű
Megoldó(k):	Reviczky Ádám
Füzet:	1997/december, 532. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Oszthatósági feladatok, Mértani sorozat, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1997/március: Gy.3120

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Az $n = 2^{p - 1} q$ szám osztói: $2^{0}$ , $2^{1}$ , $2^{2}$ , $...$ , $2^{p - 1}$ és $2^{0} q$ , $2^{1} q$ , $...$ , $2^{p - 1} q$ . Jelöljük az $\frac{1}{2^{0}} + \frac{1}{2^{1}} + ... + \frac{1}{2^{p - 1}}$ összeget $A$ -val. Ekkor az osztók reciprokainak összege

\begin{matrix} A (\frac{1}{q} + 1) = A \cdot \frac{q + 1}{q} = A \cdot \frac{2^{p}}{2^{p} - 1} . \end{matrix}

A mértani sor összegképlete alapján

A = \frac{2^{p} - 1}{2^{p - 1}}

, ezek szerint a reciprokösszeg

\begin{matrix} \frac{2^{p} - 1}{2^{p - 1}} \cdot \frac{2^{p}}{2^{p} - 1} = 2. \end{matrix}

Reviczky Ádám (Budapest, Szent István Gimn., 8. o.t.)