Feladat:	Gy.3114	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Gueth Krisztián ,  Gyenes Zoltán ,  Károlyi Gergely ,  Naszódi Gergely ,  Schmeiszer Kornél ,  Schmeiszer Krisztián ,  Terpai Tamás
Füzet:	1997/november, 483 - 484. oldal		PDF  |  MathML
Témakör(ök):	Négyszögek geometriája, Terület, felszín, Paralelogrammák, Középvonal, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1997/február: Gy.3114

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. Jelöljük a négyszög csúcsait $A$, $B$, $C$, $D$-vel, oldalinak felezőpontjait $X$, $Y$, $V$, $Z$-vel, az átlók felezőpontjait $S$-sel és $T$-vel, az $S$-en és $T$-n át a másik átlóval húzott párhuzamosok metszéspontját pedig $P$-vel. Az $XYVZ$ négyszög paralelogramma, mert szemközti oldalainak hossza egyenlő ($XY=VZ=\frac{BD}{2}$ és $XZ=YV=\frac{AC}{2}$), ugyanis oldalai az $ABD$, $CBD$, $DAC$ és $BAC$ háromszögek $BD$, illetve $AC$ oldalához tartozó középvonalai. Az $ABCD$ négyszög konvexitása miatt $XYVZ$ az $ABCD$ belsejében van, $T$, $S$ és $P$ pedig az $XYVZ$ paralelogramma belső pontjai. Mivel $PS\Vert AC\Vert XZ\Vert YV$, azért $T_{PYV}=T_{SYV}$ és $T_{PXZ}=T_{SXZ}$, és így $T_{PYBV}=T_{SYBV}$, valamint $T_{PXDZ}=T_{SXDZ}$. Viszont $S$ a $BD$ átló felezőpontja, ezért az $SYBV$ és az $SXDZ$ konvex négyszögek két-két átlójának hossza megegyezik, és $XZ\Vert YV$ miatt az átlók által bezárt szög is egyenlő. Ebből viszont következik, hogy a két négyszög területe is egyenlő, $T_{SYBV}=T_{SXDZ}$. Az $SX$ és $SY$, illetve az $SV$ és $SZ$ szakaszok az $ABD$, illetve a $CBD$ háromszög középvonalai, ezért (lásd a 2. ábrát) $T_{AXSY}=\frac{1}{2}{T}_{ABD}$ és $T_{CZSV}=\frac{1}{2}=T_{CBD}$. Tehát $\begin{array}{c}{\displaystyle {\displaystyle \begin{array}{c}\hfill {\displaystyle T_{PYBV}=T_{SYBV}=\frac{1}{2}\left(T_{SYBV}+T_{SXDZ}\right)=\frac{1}{2}\left(T_{ABCD}-\left(T_{AXSY}+T_{CZSV}\right)\right)=}\\ \hfill {\displaystyle =\frac{1}{2}\left(T_{ABCD}-\frac{1}{2}\left(T_{ABD}+T_{CBD}\right)\right)=\frac{1}{2}\left(T_{ABCD}-\frac{1}{2}{T}_{ABCD}\right)=\frac{1}{4}{T}_{ABCD}\mathrm{.}}\end{array}}}\end{array}$ Az eddigiekből ugyanúgy következik, hogy $T_{PXDZ}=\frac{1}{4}{T}_{ABCD}$; ha pedig a bizonyításban az $S$ pont szerepét a $T$ pont, a $PYBV$ és a $PXDZ$ négyszögek szerepét pedig a $PYAX$ és a $PZCV$ négyszögek veszik át, akkor ugyanígy belátható, hogy $T_{PYAX}=T_{PZCV}=\frac{1}{4}{T}_{ABCD}$. Ezzel a feladat állítását beláttuk.