Kezdőlap


Feladat:	Gy.3110	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: könnyű
Megoldó(k):	Csernus Attila
Füzet:	1997/november, 482 - 483. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Másodfokú diofantikus egyenletek, Egész számok összege, Négyzetszámok összege, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1997/február: Gy.3110

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Legyen a 10 egymást követő pozitív egész $n$ , $n + 1$ , $n + 2$ , $...$ , $n + 9$ . Ekkor a tíz szám összege: $n + (n + 1) + ... + (n + 9) = 10 n + 45$ , és a négyzetösszegük:

\begin{matrix} \begin{matrix} n^{2} + {(n + 1)}^{2} + ... + {(n + 9)}^{2} = \\ = 10 n^{2} + 2 n + 4 n + 6 n + ... + 18 n + 1^{2} + 2^{2} + 3^{2} + ... + 9^{2} = 10 n^{2} + 90 n + 285, \end{matrix} \end{matrix}

tehát a

\frac{10 n^{2} + 90 n + 285}{10 n + 45}

tört értéke egész.

\begin{matrix} \frac{10 n^{2} + 90 n + 285}{10 n + 45} = n + 4 + \frac{n + 21}{2 n + 9}, \end{matrix}

így az

\frac{n + 21}{2 n + 9}

-nek egésznek kell lennie.
Mivel az

n

pozitív egész, azért

n + 21 < 6 n + 27

, azaz

\frac{n + 21}{2 n + 9} < 3

, így csak

\frac{n + 21}{2 n + 9} = 1

vagy

\frac{n + 21}{2 n + 9} = 2

lehet. Az első esetben

n = 12

, a második esetben pedig

n = 1

, valóban pozitív egészek.

Tehát a 10 egymást követő pozitív egész az 1, 2, 3,

...

, 10 vagy a 12, 13, 14,

...

, 21.

Csernus Attila (Budapest, Árpád Gimn., I. o.t.)