|
Feladat: |
Gy.3108 |
Korcsoport: 16-17 |
Nehézségi fok: nehéz |
Megoldó(k): |
Balogh Attila , Barát Anna , Bérces Márton , Bérczi Gergely , Csirmaz Előd , Davidovics Gábor , Dedinszky Zsófia , Gyenes Zoltán , Györkei Györgyi , Katona Zsolt , Lázár Zsófia , Lengyel Tímea , Lippner Gábor , Naszódi Gergely , Páles Csaba , Papp Dávid , Szabó Gábor , Szalai-Dobos András , Taraza Busra , Terék Zsolt , Terpai Tamás , Várady Gergő |
Füzet: |
1997/október,
412 - 413. oldal |
PDF | MathML |
Témakör(ök): |
Szögfüggvények, síkgeometriai számítások, Trigonometriai azonosságok, Teljes indukció módszere, Legkisebb közös többszörös, Középpontos és egyéb hasonlósági transzformációk, Gyakorlat |
Hivatkozás(ok): | Feladatok: 1997/január: Gy.3108 |
|
A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. Legyen egy olyan hegyesszög, amelyre teljesül, hogy , továbbá felírható alakban, ahol egész szám. (Ilyen szög biztosan van, mert tetszőlegesen kicsi lehet, ha elég nagy.) Ekkor is racionális, mert | | Ebből viszont a | | és a | | azonosságok miatt (az -re vonatkozó teljes indukcióval) következik, hogy is és is racionális minden pozitív egész esetén.
Ennek ismeretében vegyünk fel az középpontú, egységsugarú körön 1997 darab , , , pontot úgy, hogy , 2, , 1996-ra legyen (a szögek irányítottak, ezért ). Ekkor minden és (, ) esetén , ezért a egységnyi szárú egyenlő szárú háromszög alapjának hossza , tehát racionális. Mivel | | azért a pontok mind különbözőek, és közülük bármelyik kettő távolsága racionális. Vegyük e távolságok nevezőinek legkisebb közös többszörösét, és az egész ábrát nagyítsuk -ból ennyiszeresére. Ha a nagyításnál képe , akkor a , , , pontok közül bármelyik kettő távolsága egész, és mivel a pontok egy körön vannak, azért közülük minden egyenes legfeljebb kettőt tartalmaz. Ezzel a kért konstrukciót megadtuk.
Terpai Tamás (Fazekas M. Főv. Gyak. Gimn., II. o.t.) |
Megjegyzések. 1. A fenti konstrukció 1997 helyett nyilván tetszőleges véges számú pontra helyes, ha -t elég kicsinek választjuk. 2. A feladatnak egy trigonometriát nem használó megoldása megtalálható Reiman István: A geometria és határterületei című könyvének 289. oldalán. Ugyanitt található annak a bizonyítása is, hogy végtelen sok pontot viszont már nem lehet megadni a feltételeknek megfelelő módon.
|
|