Feladat: Gy.3107 Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Barát Anna ,  Bérces Márton ,  Bíró Anikó ,  Csiszár Gábor ,  Davidovics Gábor ,  Gueth Krisztián ,  Gyenes Zoltán ,  Győri Nikolett ,  Hangya Balázs ,  Kiss Gergely ,  Kósa Botond ,  Kunszenti-Kovács Dávid ,  Papp Dávid ,  Pozsonyi Gergő ,  Priger Anita ,  Schmeiszer Kornél ,  Schmeiszer Krisztián ,  Simon Péter ,  Simon Zoltán ,  Szászi Zsuzsanna ,  Takács Zsuzsanna ,  Terpai Tamás ,  Tolvaj Nándor ,  Vaik István ,  Végh László ,  Venter György ,  Zábrádi Gergely 
Füzet: 1997/október, 411 - 412. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Magasságvonal, Szögfelező egyenes, Tengelyes tükrözés, Körülírt kör, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1997/január: Gy.3107

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Megmutatjuk, hogy ha a háromszög egy magasságvonalát a megfelelő csúcshoz tartozó szögfelezőre tükrözzük, akkor a tükörkép átmegy a háromszög köré írható kör középpontján. Ebből a feladat állítása nyilvánvalóan következik.

 

1. ábra

 
2. ábra

 

Jelöljük a háromszög csúcsait A, B, C-vel, köré írható körének középpontját O-val, magasságpontját M-mel, az A csúcshoz tartozó szögfelelő és a körülírt kör A-tól különböző metszéspontját pedig K-val. Ekkor a körülírt kör A-t nem tartalmazó BK és CK íveihez BAK∢=CAK∢ miatt ugyanakkora kerületi szögek tartoznak, tehát a két ív egyenlő hosszú, amit úgy is mondhatunk, hogy K felezi a BC ívet. Ezért K rajta van a BC szakasz felezőmerőlegesén. E merőlegesen O is rajta van, azaz OK a BC felezőmerőlegese. Mivel a háromszög BC-hez tartozó magassága is merőleges BC-re, azért OK‖AM, vagyis MAK∢=OKA∢. Az OKA háromszög viszont OK=OA miatt egyenlő szárú, ezért OAK∢=OKA∢. Tehát OAK∢=MAK∢, ami azt jelenti, hogy a BC-hez tartozó magasságegyenesnek az A-hoz tartozó szögfelezőre vonatkozó tökürképe az AO egyenes.
Tehát a feladatban szereplő tükörképek mindegyike átmegy O-n.
 Pozsonyi Gergő (Fazekas M. Főv. Gyak. Gimn., I. o.t.) dolgozata alapján