|
Feladat: |
Gy.3106 |
Korcsoport: 16-17 |
Nehézségi fok: átlagos |
Megoldó(k): |
Andrássy Zoltán , Babos Attila , Balogh Attila , Benedek Csaba , Bérces Márton , Bosznay Tamás , Csikvári Péter , Csirmaz Előd , Csiszár Gábor , Dancsó Zsuzsanna , Davidovics Gábor , Deli Lajos , Földényi Tamás , Gelencsér Gábor , Gueth Krisztián , Gyenes Zoltán , Győri Nikolett , Györey Bernadett , Hangya Balázs , Horváth Gábor , Kajtár Márton , Keszegh Balázs , Kiss Gergely , Kutalik Péter , Lengyel Tímea , Mecz Balázs , Miklós Levente , Naszódi Gergely , Papp Dávid , Reviczky Ádám , Schlotter Ildikó , Schmidt Ákos , Schmidt András , Szabadka Zoltán , Szalontay Mihály , Szentes Szilvia , Taraza Busra , Terpai Tamás , Tillinkó Zsanett , Vaik István , Varga Szilvia , Varjú Péter , Végh László , Venter György , Wilfing András , Zábrádi Gergely |
Füzet: |
1997/október,
410 - 411. oldal |
PDF | MathML |
Témakör(ök): |
Halmazelmélet, Részhalmazok, Gyakorlat |
Hivatkozás(ok): | Feladatok: 1997/január: Gy.3106 |
|
A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. Jelöljük a halmaz elemeinek számát -nel. Ekkor a halmaz kételemű részhalmazainak a száma . Egy kijelölt 3 elemű részhalmaz pontosan 3 db kételemű részhalmazt tartalmaz, így a 7 db háromelemű részhalmaz összesen különböző kételemű részhalmazt tartalmaz. Ezért , amiből ( mellett) adódik. Tehát a halmaznak 7 eleme van. (Ha a halmaz elemeit 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 jelöli, akkor egy lehetséges példa a hét darab részhalmazra: 1, 2, 3; 1, 4, 5; 1, 6, 7; 2, 4, 6; 2, 5, 7; 3, 4, 7; 3, 5, 6. Ugyanezt a példát szemlélteti az ábra, ahol a halmaz elemei a számmal jelölt pontok, a kijelölt részhalmazok pedig a berajzolt egyenesek és a kör mentén lévő pontok által alkotott részhalmazok.)
Megmutatjuk, hogy legfeljebb 4 részhalmazt tudunk a feltételeknek megfelelően kiválasztani. Ha 5 részhalmazt választunk, akkor ezekben ‐ multiplicitással számolva ‐ összesen elem van. Mivel , azért a 15 közt van legalább 1 elem, amely (legalább) háromszor fordul elő, azaz 5 részhalmaz közt biztosan van 3, amely tartalmazza ugyanazt az elemet. 4 részhalmazt viszont mindig ki tudunk választani: rögzítsük a halmaz egyik elemét, jelöljük ezt 1-gyel. Ezt az elemet a feltételek miatt pontosan kijelölt részhalmaz tartalmazza. Megmutatjuk, hogy a maradék kijelölt részhalmaz közül semelyik 3 sem tartalmazza ugyanazt az elemet. Ha ugyanis ezek közt lenne 3, amelyik tartalmazná ugyanazt az elemet, akkor e 3 részhalmaz többi, összesen elemének mind különbözőnek kellene lenni, ezért egyikük tartalmazná 1-et is, ami ellentmondás. (Előző példánk esetén a 4 részhalmaz: 2, 4, 6; 2, 5, 7; 3, 4, 7 és 3, 5, 6.) Összefoglalva: tehát a halmaznak 7 eleme van, és mindig legfeljebb 4 részhalmazt tudunk a feltételeknek megfelelően kiválasztani. |
|