Kezdőlap


Feladat:	Gy.3104	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Bakonyi Nóra , Balogh Attila , Benedek Csaba , Csikvári Gábor , Gueth Krisztián , Kutalik Péter , Lengyel Tímea , Lódi Edit , Rovó Attila , Somlai Gábor , Tolvaj Nándor
Füzet:	1997/szeptember, 347 - 348. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Egyéb feladványok, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1997/január: Gy.3104

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Az általánosság megszorítása nélkül feltehetjük, hogy $a \geq b$ . Ha $c \leq b$ , akkor az

\begin{matrix} \begin{matrix} (x_{1}, x_{2}, ..., x_{n}) & = ({\underset{︸}{1, 1, ..., 1}}_{cdarab}^{}, {\underset{︸}{1, 1, ..., 1}}_{a - cdarab}^{}, {\underset{︸}{0, 0, ..., 0}}_{b - cdarab}^{}) \\ (y_{1}, y_{2}, ..., y_{n}) & = ({\underset{︸}{1, 1, ..., 1}}_{cdarab}^{}, {\underset{︸}{0, 0, ..., 0}}_{a - cdarab}^{}, {\underset{︸}{1, 1, ..., 1}}_{b - cdarab}^{}) \end{matrix} \end{matrix}

választással teljesülnek a

\sum_{i = 1}^{n} x_{i}^{2} = a

\sum_{i = 1}^{n} y_{i}^{2} = b

\sum_{i = 1}^{n} x_{i} y_{i} = c

összefüggések.
Ha

c > b

, akkor

a b > c^{2}

miatt

a > b

. Vizsgáljuk tehát az

a > c > b

esetet.

a + b

szerinti teljes indukcióval bizonyítunk.
Ha

a + b = 0

, akkor az állítás triviális. Tegyük fel, hogy valamilyen

N

természetes számmal

a + b \leq N

esetén már igazoltuk a feladat állítását az

(a, b, c)

számhármasra, és vizsgáljuk az

a + b = N + 1

esetet.
Az

(a + b - 2 c, b, c - b)

számhármasra teljesülnek a feladat feltételei, mert

a b > c^{2}

miatt

(a + b - 2 c) b = a b + b^{2} - 2 c b > {(c - b)}^{2}

, és

c > b

miatt nyilván

a + b - 2 c + b < a + b - 2 b + b < a + b = N + 1

, így az indukciós feltevés alapján valamilyen

n

x_{1}

...

x_{n}

y_{1}

...

y_{n}

egészekkel

\sum_{i = 1}^{n} x_{i}^{2} = a + b - 2 c

\sum_{i = 1}^{n} y_{i}^{2} = b

\sum_{i = 1}^{n} x_{i} y_{i} = c - b

teljesül.
Ekkor

x_{i}' = x_{i} + y_{i}

választással

\begin{matrix} \sum_{i = 1}^{n} {(x_{i}')}^{2} = \sum_{i = 1}^{n} {(x_{i} + y_{i})}^{2} = \sum_{i = 1}^{n} x_{i}^{2} + 2 \sum_{i = 1}^{n} x_{i} y_{i} + \sum_{i = 1}^{n} y_{i}^{2} = (a + b - 2 c) + 2 (c - b) + b = a \end{matrix}

és

\begin{matrix} \sum_{i = 1}^{n} x_{i}' y_{i} = \sum_{i = 1}^{n} (x_{i} + y_{i}) y_{i} = \sum_{i = 1}^{n} x_{i} y_{i} + \sum_{i = 1}^{n} y_{i}^{2} = (c - b) + b = c, \end{matrix}

tehát az

x_{1}'

x_{2}'

...

x_{n}'

y_{1}

y_{2}

...

y_{n}

számokkal teljesülnek a kívánt összefüggések

a

b

c

-re is. Ezzel a feladat állítását bebizonyítottuk.

Megjegyzés. Elnézést kérünk a gyakorlatot megoldani próbálkozóktól, a megoldás, bár csak elemi eszközöket igényelt, mégis gyakorlatnak meglehetősen nehéz.