Feladat: F.3182 Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):  Bérczi Gergely ,  Csikvári András ,  Gueth Krisztián ,  Gyenes Zoltán ,  Juhász András ,  Katona Zsolt ,  Keszegh Balázs ,  Lippner Gábor ,  Megyeri Csaba ,  Pál András ,  Pintér Dömötör ,  Prause István ,  Terpai Tamás ,  Vaik Zsuzsanna ,  Várkonyi Péter 
Füzet: 1997/december, 549 - 550. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Síkgeometriai szerkesztések, Középpontos tükrözés, Paralelogrammák, Középponti és kerületi szögek, Diszkusszió, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1997/május: F.3182

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Tekintsük a feladatot megoldottnak. Az 1. ábrán E és F a PA, illetve PB szakaszok CD-vel való metszéspontjai. Tükrözzük pl. az A pontot K-ra, legyen a tükörkép A'. Mivel K felezi az EF szakaszt, az AEA'F négyszög paralelorgamma. Ez azt jelenti, hogy AE‖FA', ezért az APB és BFA' szögek egyik szára egybeesik, a másik száruk pedig párhuzamos és ellentétes irányú, tehát kiegészítő szögek. Az APB∢=α a k kör egyik AB ívéhez tartozó kerületi szög, ami az adatokból megszerkeszthető. Ugyanúgy, mint a másik AB ívhez tartozó kerületi szög, megszerkeszthető a BFA'∢=180∘-α is. Ezután a P pontot úgy kapjuk meg, hogy az A pontot tükrözzük K-ra, és az így kapott A'-vel megszerkesztjük az A'B szakaszhoz tartozó 180∘-α szögű k1 és k2 látóköríveket. A k1 ív, amelyik A'B-nek ugyanabban a félsíkjában van, mint a K, CD-ből kimetszi az F pontot.
 
 

Ez azért van így, mert A' a BP-nek másik félsíkjában van, mint az A, E és F pontok, így az AEA'F paralelogramma-lemeznek minden pontja A'B egyik félsíkjában van. Ezért a másik félsíkban lévő k2 íven nem kapunk megfelelő F pontot. Az FB egyenes kimetszi a k körből a P pontot.
 
 

Bebizonyítjuk, hogy a feladatnak mindig egy megoldása van. Ha az A' pont a k kör belső- vagy határpontja, akkor a k1 látókörív biztosan metszi a CD hurt egyetlen F pontban, hiszen A' és B a CD különböző félsíkjaiban vannak. A 2. ábrán A' külső pont, és AA', valamint a k kör az R pontban metszik egymást. Mivel ARB∢=α, a k1 látókörív átmegy R-en, és így metszi a KD szakaszt egyetlen F pontban.