|
Feladat: |
F.3182 |
Korcsoport: 16-17 |
Nehézségi fok: nehéz |
Megoldó(k): |
Bérczi Gergely , Csikvári András , Gueth Krisztián , Gyenes Zoltán , Juhász András , Katona Zsolt , Keszegh Balázs , Lippner Gábor , Megyeri Csaba , Pál András , Pintér Dömötör , Prause István , Terpai Tamás , Vaik Zsuzsanna , Várkonyi Péter |
Füzet: |
1997/december,
549 - 550. oldal |
PDF | MathML |
Témakör(ök): |
Síkgeometriai szerkesztések, Középpontos tükrözés, Paralelogrammák, Középponti és kerületi szögek, Diszkusszió, Feladat |
Hivatkozás(ok): | Feladatok: 1997/május: F.3182 |
|
A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. Tekintsük a feladatot megoldottnak. Az 1. ábrán és a , illetve szakaszok -vel való metszéspontjai. Tükrözzük pl. az pontot -ra, legyen a tükörkép . Mivel felezi az szakaszt, az négyszög paralelorgamma. Ez azt jelenti, hogy , ezért az és szögek egyik szára egybeesik, a másik száruk pedig párhuzamos és ellentétes irányú, tehát kiegészítő szögek. Az a kör egyik ívéhez tartozó kerületi szög, ami az adatokból megszerkeszthető. Ugyanúgy, mint a másik ívhez tartozó kerületi szög, megszerkeszthető a is. Ezután a pontot úgy kapjuk meg, hogy az pontot tükrözzük -ra, és az így kapott -vel megszerkesztjük az szakaszhoz tartozó szögű és látóköríveket. A ív, amelyik -nek ugyanabban a félsíkjában van, mint a , -ből kimetszi az pontot.
Ez azért van így, mert a -nek másik félsíkjában van, mint az , és pontok, így az paralelogramma-lemeznek minden pontja egyik félsíkjában van. Ezért a másik félsíkban lévő íven nem kapunk megfelelő pontot. Az egyenes kimetszi a körből a pontot.
Bebizonyítjuk, hogy a feladatnak mindig egy megoldása van. Ha az pont a kör belső- vagy határpontja, akkor a látókörív biztosan metszi a hurt egyetlen pontban, hiszen és a különböző félsíkjaiban vannak. A 2. ábrán külső pont, és , valamint a kör az pontban metszik egymást. Mivel , a látókörív átmegy -en, és így metszi a szakaszt egyetlen pontban. |
|