Kezdőlap


Feladat:	F.3170	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Hartman Miklós , Várkonyi Péter
Füzet:	1997/december, 543 - 544. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Szögfelező egyenes, Érintőnégyszögek, Deltoidok, Beírt kör, Középpontos és egyéb hasonlósági transzformációk, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1997/március: F.3170

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A feltételekből következik, hogy $A F = A B$ . Ezért $F$ és $B$ tükrösek az $A$ csúcsból induló szögfelezőkre. Ez azt jelenti, hogy az $A B D F$ négyszög deltoid. Könnyen látható, hogy a deltoid $D$ -nél lévő szöge (és a többi is) konvex, ezért a deltoid érintőnégyszög.

A B D F

négyszög beírt köre egyben az

A B C

háromszög beírt köre is. Ennek sugara nyilván nagyobb, mint az

F D C

háromszögbe írt kör sugara, ugyanis az

r_{2}

sugarú kör nem érinti

A B

-t, ezért egy

C

középpontú,

1

-nél nagyobb arányú középpontos hasonlóság viszi át az

r_{1}

sugarú körbe. Így

\frac{r_{1}}{r_{2}} > 1

. Legyen

B C

felezőpontja

G

. A szögfelező-tételből következik, hogy

B D < D C

, hiszen

A B < A C

. Ezért

G

D C

szakasz belső pontja. Az

F G C

háromszög az

A B C

\frac{1}{2}

arányú kicsinyítése, ezért beírt körének

r_{3}

sugarára

\frac{r_{1}}{r_{3}} = 2

. Mivel az

r_{3}

sugarú kör nem érinti az

F D

szakaszt,

1

-nél nagyobb arányú,

C

középpontú középpontos hasonlósággal vihető át az

r_{2}

sugarú körbe. Ezért

\frac{r_{1}}{r_{2}} < 2

Hartman Miklós (Bonyhád, Petőfi S. Evangélikus Gimn., III. o.t.) és

Várkonyi Péter (Fazekas M. Főv. Gyak. Gimn., IV. o.t.) dolgozata alapján

Megjegyzés. Több megoldó az állítást élesítve azt mutatta meg, hogy

\frac{3}{2} < \frac{r_{1}}{r_{2}} < 2