Kezdőlap


Feladat:	F.3164	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Barát Anna , Barta Ágnes , Bérczi Gergely , Bosznay Tamás , Dályay Virág , Devecsery András , Fejérvári Bence , Forrai Gábor , Gál Tamás , Gyenes Zoltán , Győri Nikolett , Helesfai Gábor , Horváth Gábor , Jáger Márta , Jeszenszky Gyula , Juhász András , Lázár Zsófia , Léka Zoltán , Lichtneckert Zoltán , Lippner Gábor , Megyeri Csaba , Miklós Levente , Nyul Gábor , Oláh Szabolcs , Onodi András , Páles Csaba , Patakfalvi Zsolt , Pintér Dömötör , Prause István , Prohászka Benedek , Szabó Gábor , Szalai-Dobos András , Szita István , Szűcs Gábor , Terék Zsolt , Terpai Tamás , Tóth Ádám , Vaik Zsuzsanna , Várady Gergő , Várkonyi Péter
Füzet:	1997/október, 417 - 418. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Derékszögű háromszögek geometriája, Egyenlő szárú háromszögek geometriája, Terület, felszín, Síkgeometriai számítások trigonometria nélkül háromszögekben, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1997/február: F.3164

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Legyen a derékszögű háromszög átfogója 1, területe $t$ , a kisebbik hegyesszöge $α$ . Használjuk az ábrák további jelöléseit. Az 1. ábrán lévő $B C D$ egyenlő szárú háromszög ( $B C = B D$ ) területét jelöljük $t_{1}$ -gyel. Megvizsgáljuk, hogy mikor lesz $t_{1} \geq \frac{t}{\sqrt[3]{2}}$ , azaz

\begin{matrix} \frac{cos α cos α sin α}{2} \geq \frac{sin α cos α}{2 \sqrt[3]{2}} . \end{matrix}

1. ábra

2. ábra

A keresett feltétel:

cos α \geq \frac{1}{\sqrt[3]{2}}

, vagyis

0 < α \leq arc cos \frac{1}{\sqrt[3]{2}} (< 45^{\circ})

. Előfordulhat, hogy

α

nem teljesíti ezt a feltételt. Keressünk ekkor az egyenlő szárú háromszög elhelyezésére egy másik lehetőséget. A 2. ábrán

E F

A B

átfogó felező merőlegese, az

A B F

háromszög területe pedig legyen

t_{2}

. A

t_{2} \geq \frac{t}{\sqrt[3]{2}}

követelmény, figyelembe véve, hogy

A F = B F = \frac{1}{2 cos α}

és

A F B ∢ = 180^{\circ} - 2 α

, éppen

\begin{matrix} {(\frac{1}{2 cos α})}^{2} \cdot sin (180^{\circ} - 2 α) \geq \frac{sin α \cdot cos α}{\sqrt[3]{2}}, \end{matrix}

azaz

cos α \leq \frac{1}{\sqrt[3]{2}}

, tehát

45^{\circ} \geq α \geq arc cos \frac{1}{\sqrt[3]{2}}

.
Mivel a kapott két feltétel egyike mindig teljesül, a feladat állítását igazoltuk.

Pintér Dömötör (Szombathely, Nagy L. Gimn., IV. o.t.)

Várady Gergő (Bp., Eötvös J. Gimn., III. o.t.)

Megjegyzés. Megyeri Csaba (Nagykanizsa, Batthyány L. Gimn,. IV. o.t.) rámutatott arra, hogy a feladat állítása éles, tehát az

\frac{1}{\sqrt[3]{2}}

arány nem növelhető.