|
Feladat: |
F.3158 |
Korcsoport: 16-17 |
Nehézségi fok: nehéz |
Megoldó(k): |
Laczó Tibor , Nyakas Péter |
Füzet: |
1997/október,
416. oldal |
PDF | MathML |
Témakör(ök): |
Hossz, kerület, Körülírt kör, Számtani-mértani egyenlőtlenségek, Szögfüggvények, síkgeometriai számítások, Jensen-féle egyenlőtlenség, Trigonometrikus függvények, Feladat |
Hivatkozás(ok): | Feladatok: 1997/január: F.3158 |
|
A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. Mivel a bal oldalon lévő szorzat tényezői pozitív számok, a szorzat köbgyöke becsülhető a számtani és mértani közép közötti egyenlőtlenséggel: | | Így elég azt bizonyítanunk, hogy , azaz Tekintve, hogy és pl. , a bizonyítandó állítás így alakul: A szinuszfüggvény a -ban konkáv, ezért Jensen tétele szerint (bizonyítása megtalálható Molnár Emil: Matematika versenyfeladatok gyűjteménye, 518. old.): | | Mivel átalakításaink megfordíthatók, utóbbi egyenlőtlenségünk ekvivalens (1)-gyel. Egyenlőség pontosan akkor lesz, ha , tehát szabályos háromszög esetén.
Nyakas Péter (Zalaegerszeg, Zrínyi M. Gimn., IV. o.t.) |
|
|