Kezdőlap


Feladat:	F.3158	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Laczó Tibor , Nyakas Péter
Füzet:	1997/október, 416. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Hossz, kerület, Körülírt kör, Számtani-mértani egyenlőtlenségek, Szögfüggvények, síkgeometriai számítások, Jensen-féle egyenlőtlenség, Trigonometrikus függvények, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1997/január: F.3158

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Mivel a bal oldalon lévő szorzat tényezői pozitív számok, a szorzat köbgyöke becsülhető a számtani és mértani közép közötti egyenlőtlenséggel:

\begin{matrix} \sqrt[3]{(α + β) (β + γ) (γ + α)} \leq \frac{α + β + β + γ + γ + α}{3} = \frac{2}{3} π . \end{matrix}

Így elég azt bizonyítanunk, hogy

{(\frac{2}{3} π)}^{3} \leq 4 {(\frac{π}{\sqrt[]{3}})}^{3} \frac{R}{s}

, azaz

\begin{matrix} \frac{s}{R} \leq \frac{3 \sqrt[]{3}}{2} . \end{matrix}

(1)

Tekintve, hogy

\frac{s}{R} = \frac{a + b + c}{2 R}

és pl.

\frac{a}{2 R} = sin α

, a bizonyítandó állítás így alakul:

\begin{matrix} sin α + sin β + sin γ \leq \frac{3 \sqrt[]{3}}{2} . \end{matrix}

A szinuszfüggvény a

(0; π)

-ban konkáv, ezért Jensen tétele szerint (bizonyítása megtalálható Molnár Emil: Matematika versenyfeladatok gyűjteménye, 518. old.):

\begin{matrix} \frac{sin α + sin β + sin γ}{3} \leq sin \frac{α + β + γ}{3} = \frac{\sqrt[]{3}}{2} . \end{matrix}

Mivel átalakításaink megfordíthatók, utóbbi egyenlőtlenségünk ekvivalens (1)-gyel. Egyenlőség pontosan akkor lesz, ha

α = β = γ

, tehát szabályos háromszög esetén.

Nyakas Péter (Zalaegerszeg, Zrínyi M. Gimn., IV. o.t.)