|
Feladat: |
F.3157 |
Korcsoport: 16-17 |
Nehézségi fok: átlagos |
Megoldó(k): |
Bérczi Gergely , Détári Dániel , Fejérvári Bence , Gyenes Zoltán , Hangya Balázs , Jeszenszky Gyula , Juhász András , Megyeri Csaba , Szűcs Gábor , Terék Zsolt , Varga Áron , Várkonyi Péter |
Füzet: |
1997/szeptember,
351 - 352. oldal |
PDF | MathML |
Témakör(ök): |
Háromszögek nevezetes tételei, Négyzetek, Terület, felszín, Háromszögek hasonlósága, Számtani-mértani egyenlőtlenségek, Szélsőérték-feladatok, Feladat |
Hivatkozás(ok): | Feladatok: 1997/január: F.3157 |
|
A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. A különböző alakú egységnyi területű háromszögek közül azokat kell megkeresnünk, amelyekbe maximális területű négyzet írható. Első lépésként megmutatjuk, hogy a maximális területű négyzet csúcsai szükségképpen a háromszöglemez határán lesznek. Ha a beírt négyzetnek legalább két csúcsa a háromszög belső pontja (1. ábra), akkor a háromszögnek van olyan csúcsa, amelyikből a nézetet nagyítva egy csúcs képe a kerületre kerül. Ezt ismételve elérhetjük, hogy három négyzetcsúcs a háromszög határán legyen, miközben a négyzet területe növekszik. A 2. ábrán a négyzet három csúcsa a háromszög oldalaira illeszkedik. Az ábra jelöléseivel , és feltehetjük, hogy és . A egyenes a -t -ben, az -t -ben metszi. A feltevés miatt a háromszög területe nem nagyobb, mint a háromszögé. Ezért a háromszög területe kisebb, mint az háromszögé. Ha most a háromszöget ‐ a négyzettel együtt ‐ úgy nagyítjuk, hogy területe egységnyi legyen, akkor a négyzet területe is növekedni fog. Az elmondottakból az látszik, hogy a maximális területű négyzet a 3. ábra szerint úgy helyezkedik el a háromszögben, hogy egyik oldala azon a háromszög-oldalon van, amelyiknek egyik csúcsában sincs tompaszög. Az ábra jelöléseivel az és az háromszögek hasonlóságából , amiből . Így a háromszög területe , amit a számtani és mértani közép közötti egyenlőtlenséggel becsülve: | | Ez azt jelenti, hogy akkor lesz a legnagyobb, ha annyi, mint a háromszög területe, és ez akkor lép fel, ha . Ebben az esetben , és . Tehát a alapú és magasságú nem tompaszögű egységnyi területű háromszögekbe írható a legnagyobb négyzet.
Megjegyzés. A feladat megoldásában a beírt négyzet lefedett négyzet értelemben szerepelt. Szigorúbb értelemben beírt négyzet a 3. ábrán látható négyzet.
|
|